[논문 리뷰] Symmetric Jordan-Wigner transformation in higher dimensions

Hoi Chun Po|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 22.

Molecular spectroscopy and chirality인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 높은 차원의 4차원 격자에서 스핀-1/2 Fermion에 대해 대칭적인 Jordan-Wigner 변환을 제안하며, 보존 측면에서 모든 전역 대칭성—(unitary 및 anti-unitary)—을 유지한다. 비국소적인 스트링을 통해 게이지 불변성의 구조를 이용하여 Fermion 연산자를 스핀-1/2 자유도로 매핑함으로써, Hubbard 및 t-J 모델과 같은 모델의 정확한 보존화를 가능하게 하며, 국소성과 대칭성의 구조를 명시적으로 유지한다.

ABSTRACT

The Jordan-Wigner transformation is traditionally applied to one dimensional systems, but recent works have generalized the transformation to fermionic lattice systems in higher dimensions while keeping locality manifest. These developments could aid the theoretical or even experimental studies of strongly correlated electronic problems through their bosonic counterparts. In this work, we develop a scheme for higher-dimensional Jordan-Wigner transformation which keeps all relevant symmetries manifest on the bosonic side. Our approach connects the discussion of exact lattice bosonization to the familiar notions of fractionalized partons like spinons and chargeons, and works for spin-$1/2$ fermions -- like the physical electrons -- on four-coordinated lattices. The construction is applied to fermions defined on the square, kagome and diamond lattices, and we provide explicit expressions for the bosonized versions of well-known models of strongly correlated electrons, like the Hubbard and $t$-$J$ models.

연구 동기 및 목표

• 보존 측면에서 모든 관련 대칭성—unitary, anti-unitary, 공간 대칭성—을 유지하는 고차원 Jordan-Wigner 변환을 개발하는 것.
• 기존의 1차원 Jordan-Wigner 매핑을 초월하여 명시적인 국소성과 정확한 통계 전환을 유지하는 것.
• 격자 보존화와 강한 상호작용 전자 시스템에서 분할된 파artons(예: 스핀온과 챠지온)의 물리학을 연결하는 것.
• 정사각형, 카고메, 다이아몬드 격자에서 스핀-1/2 Fermion에 대해 명시적이고 대칭성을 유지하는 매핑을 제공하는 것.
• 보존 측면의 대칭성 내용을 유지하면서, Fermion 모델을 등가의 보존 해밀토니안으로 변환함으로써 비편향적인 수치적 및 양자 시뮬레이션을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 각 격자 세포당 최소한의 링크 집합을 사용하여 게이지 불변성의 Jordan-Wigner 스트링을 구성함으로써, 비국소적 위상 인자에 의해 Fermion의 반대칭 관계가 유지되도록 보장한다.
• 기준 위치에서 경로를 따라 스핀-1/2 연산자(또는 파arton)의 곱으로 보존된 Fermion 연산자를 정의하며, 스트링 인자로 정확한 통계가 보장된다.
• 인cidence 행렬 ∂(k)의 영공간을 식별하기 위해 일반화된 루프 수세기 방법을 사용하며, 이는 독립적인 게이지 제약 조건과 위상적 섹터의 수를 결정한다.
• 4차원 격자(정사각형, 카고메, 다이아몬드)에 적용하여, 격자 기하학성과 게이지 불변성과 일치하도록 특정 링크 구성표를 할당한다.
• 스트링 연산자의 변환 행동을 분석하여, 내부 대칭성(U(1) 전하, SU(2) 스핀, 시간 역전, 입자-홀 대칭성)과 공간 대칭성이 유지되는지 검증한다.
• 각 격자에서 Hubbard 및 t-J 모델의 보존된 형태를 명시적으로 유도하며, 해밀토니안이 전체 대칭군 하에서 국소적이고 대칭성을 유지함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 보존 측면에서 모든 전역 대칭성—unitary, anti-unitary, 공간 대칭성—을 유지하면서 Jordan-Wigner 변환을 고차원으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 게이지 장과 anyonic 스트링은 고차원 Fermion 시스템에서 정확한 통계 전환을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 위상적 섹터와 Wilson 루프는 2D 및 3D 격자에서 Jordan-Wigner 스트링의 구조를 어떻게 제약하는가?
• RQ4 이러한 구성은 정사각형, 카고메, 다이아몬드 격자와 같이 4차원 격자에 대해 체계적으로 적용될 수 있으며, 그로 인해 유도된 보존 해밀토니안의 대칭성은 무엇인가?
• RQ5 보존된 기술은 원래 Fermion 시스템의 물리적 양자수와 대칭성 내용을 어느 정도 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 대칭적인 Jordan-Wigner 변환은 보존 측면에서 모든 전역 대칭성—U(1) 전하, SU(2) 스핀, 시간 역전, 입자-홀 대칭성—을 유지하며, 정확한 대칭성 해상도 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 정사각형 격자에서는 3×6 인cidence 행렬 ∂(k)을 얻으며, 일반적인 k에서 3개의 독립적인 영벡터를 가지며, k=0에서 선형 종속성으로 인해 4개로 감소한다.
• 카고메 격자에서는 ∂(k)의 영공간이 일반적으로 2차원이며, 4개의 독립적인 루프 연산자가 존재한다. k=0에서 비선형성으로 인해 영공간 차원이 4로 증가한다.
• 다이아몬드 격자에서는 인cidence 행렬 ∂(k)이 2×4이며, 일반적으로 영공간이 2차원이며, 4개의 루프 연산자가 두 개의 선형 관계를 만족한다. 이로 인해 2L³+1개의 생성자가 존재하며, 이 중 3개는 비자명한 Wilson 루프이다.
• 이 구성은 이러한 격자에서 스핀을 가진 Hubbard 및 t-J 모델을 등가의 보존 해밀토니안으로 정확히 매핑하며, 모든 물리적 대칭성과 국소성을 유지한다.
• 이 방법은 격자 보존화와 파arton 그림 사이의 직접적인 연결을 수립하여, 보존 기술에서 스핀온과 챠지온과 같은 분할된 진동자들이 명시적으로 드러나게 한다.