[논문 리뷰] Symmetry Groups and Equivalence Transformations in the Nonlinear Donnell-Mushtari-Vlasov Theory for Shallow Shells

Vassil M. Vassilev|ArXiv.org|2000. 06. 08.

Composite Structure Analysis and Optimization참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 Donnell-Mushtari-Vlasov 이론에 따라 낙하각이 큰 얕은 구면의 거동를 지배하는 Marguerre 방정식의 점 대칭군을 리 군 분석을 통해 규명한다. 이는 Marguerre 방정식이 시간에 독립적이고 시간에 의존적인 경우 모두에서 판의 비선형 von Kármán 방정식과 동치임을 보여주며, 기존의 판 해법을 직접 얕은 구면 문제로 이식할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

In the case of transversely only loaded shallow shells, the nonlinear Donnell-Mushtari-Vlasov theory for large deflection of isotropic thin elastic shells leads to a system of two coupled nonlinear forth-order partial differential equations known as Marguerre's equations. This system involves two arbitrary elements -- the curvature tensor of the shell middle-surface and the function of transversal load per unit surface area. In the present note, the point symmetry groups of Marguerre's equations are established, the corresponding group classification problem being solved. It is shown that Marguerre's equations are equivalent to the von Karman equations for large deflection of plates in the time-independent case and in the time-dependent case as well. It is also observed that the same holds true in respect of the field equations for anisotropic shallow shells.

연구 동기 및 목표

• 얕은 구면에 대한 Marguerre 방정식의 점 대칭군을 비선형 Donnell-Mushtari-Vlasov 이론의 틀에서 분류하는 것.
• 지역 1파rameter 점 변환 군에 대한 시스템의 불변 조건을 규명하는 것.
• 얕은 구면의 Marguerre 방정식과 판의 von Kármán 방정식 간의 동치성을 확립하는 것.
• 시간에 의존하는 및 이방성 얕은 구면 시스템으로의 동치성 확장을 위한 것.
• 구면 중간면 곡률의 불변량과 하중 분포가 대칭군 분류에 미치는 영향을 규명하는 것.

제안 방법

• R⁴ (x¹, x², w, Φ)에서의 국소 점 변환에 대한 Marguerre 시스템의 불변성을 분석하기 위해 리 무한소 기법을 적용한다.
• 벡터장의 연장과 대칭 생성자에 대한 결정 방정식을 사용하여 시스템의 불변 조건을 유도한다.
• 변환 구조를 유지하는 등가 변환, 특히 이동 변환 (x¹,x²,w,Φ) ↦ (x¹,x²,w+f,Φ)를 식별한다.
• 이 변환을 통해 Marguerre 방정식이 수정된 우변을 가진 비동차 von Kármán 방정식과 동치임을 보인다.
• 情경에 따라 관성 항 (ρẅ) 을 포함하여 시간에 의존하는 시스템으로 확장하고, 변환을 이를 반영하도록 적응시킨다.
• 재료 상수 D^{αβμν} 및 E^{αβμν} 를 일반화하여 이방성 얕은 구면에 대해 이 방법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 얕은 구면에 대한 Marguerre 방정식의 완전한 점 대칭군은 무엇인가?
• RQ2 Marguerre 시스템이 동차 운동 또는 기타 리 군 작용에 대해 불변이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 Marguerre 방정식과 판의 von Kármán 방정식 간의 동치성은 어느 정도까지 성립하는가?
• RQ4 등가 변환은 시간에 독립적, 시간에 의존적, 이방성 등 다양한 물리적 영역에서 시스템의 구조를 어떻게 유지하는가?
• RQ5 Marguerre 방정식의 대칭군 분류는 구면 중간면의 기하학적 불변량으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• Marguerre 방정식의 대칭군은 구면 중간면 곡률의 불변량 H 및 K 와 하중 함수 p 에 의해 결정된다.
• 시간에 독립적 및 시간에 의존적인 경우 모두에서 등가 변환을 통해 Marguerre 방정식이 판의 von Kármán 방정식과 동치임을 보였다.
• 이 방정식의 동치성은 이방성 얕은 구면에도 성립하며, 변환된 시스템은 여전히 von Kármán 구조를 유지하지만 소스 항이 수정된다.
• 시간에 의존하는 Marguerre 시스템은 동일한 변환을 통해 비동차 시간에 의존하는 von Kármán 시스템으로 매핑된다.
• w ↦ w + f 인 변환은 미분 구조를 유지하는 등가 변환이며, 해의 이식을 가능하게 한다.
• 결과적으로 von Kármán 방정식의 기존 해를 최소한의 수정으로 얕은 구면 문제에 적용할 수 있는 체계적인 방법을 제공한다.