[논문 리뷰] Symplectic homology of convex domains and Clarke's duality

Alberto Abbondandolo, Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 17.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^{2n}$ 위의 볼록 해밀토니안에 대한 플로어 복합체와 그 펜켈-쌍대 작용 함수의 모어스 복합체 사이의 이somorphism을 확립하며, 작용 필터링을 유지한다. 핵심 결과는 경계가 매끄러운 볼록 도메인의 심플렉틱 호모로지가 경계 위의 닫힌 특성의 최소 작용을 계산함을 보여주며, 심플렉틱 위상수학과 해밀토니안 시스템에서 클라크의 이중성 간의 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

We prove that the Floer complex that is associated with a convex Hamiltonian function on $\mathbb{R}^{2n}$ is isomorphic to the Morse complex of Clarke's dual action functional that is associated with the Fenchel-dual Hamiltonian. This isomorphism preserves the action filtrations. As a corollary, we obtain that the symplectic capacity from the symplectic homology of a convex domain with smooth boundary coincides with the minimal action of closed characteristics on its boundary.

연구 동기 및 목표

• 볼록 해밀토니안에 대해 클라크의 이중성을 통한 심플렉틱 플로어 호모로지와 모어스 이론 간의 깊이 있는 구조적 연결 고리를 확립하기 위해.
• 볼록, 비퇴화, 이차적으로 볼록인 해밀토니안에 대한 플로어 복합체가 그 펜켈-쌍대의 모어스 복합체와 이somorphic임을 보여주기 위해.
• 심플렉틱 도메인의 심플렉틱 용량이 그 경계 위의 닫힌 특성의 최소 작용과 같음을 증명하기 위해.
• 유한차원 축소와 하이브리드 플로우 구성 기법을 통해 이중 함수 $\Psi_{H^*}$에 대한 잘 정의된 모어스 복합체를 구성하는 데 발생하는 분석적 과제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 비가역적 1-주기 궤도와 무한대에서 비공진 조건을 만족하는 $\mathbb{R}^{2n}$ 위의 시간에 주기적이고 강하게 볼록한 해밀토니안 $H$를 구성한다.
• 해밀토니안의 레지어트르 변환을 통해 펜켈-쌍대 함수 $\Psi_{H^*}$를 정의하며, 이는 볼록이고 초선형이며 유한한 모어스 지수를 가진 임계점을 갖는다.
• 동역학을 안정화하고 유한차원 축소를 가능하게 하기 위해, 공간 $C^\infty_0(\mathbb{T}, \mathbb{R}^{2n}) \times C^\infty_0(\mathbb{T}, \mathbb{R}^{2n}) \times \mathbb{R}^{2n}$ 위의 확장된 함수 $\widetilde{\Psi}_{H^*}$를 도입한다.
• 원래의 이중 함수 $\Psi_{H^*}$의 안정 및 불안정 다발과 대응하는 확장된 공간 위의 벡터장 $X_{\widetilde{\Psi}_{H^*}}$를 구성함으로써, 모어스 복합체의 구성이 가능해진다.
• 확장된 함수 $\widetilde{\Phi}_H$와 $\widetilde{\Psi}_{H^*}$ 사이의 미분동형사상 $\Gamma$를 정의하여, 변수 변경에 따라 이들이 동치임을 보인다.
• 벡터장 $X_{\widetilde{\Phi}_H}$의 불안정 다발과 $\Gamma$에 의한 $X_{\widetilde{\Psi}_{H^*}}$의 안정 다발의 상의 교차를 통해 사슬 사상 $\Theta$를 정의하며, 플로어 복합체와 모어스 복합체 간의 이somorphism을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록 해밀토니안에 대한 플로어 복합체와 그 펜켈-쌍대의 모어스 복합체 사이에 자연스러운 이somorphism이 존재하는가?
• RQ2 경계가 매끄러운 볼록 도메인의 심플렉틱 호모로지는 그 경계 위의 닫힌 특성의 최소 작용을 통해 계산될 수 있는가?
• RQ3 해밀토니안 시스템에서의 클라크의 이중성은 작용 함수의 무한차원 모어스 이론과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 유한차원 축소와 하이브리드 플로우 구성 기법을 통해 이중 함수의 모어스 복합체를 정의하는 데 발생하는 분석적 과제는 극복될 수 있는가?

주요 결과

• 볼록, 비퇴화, 이차적으로 볼록인 해밀토니안 $H$에 대응하는 플로어 복합체 $F_*(H)$는 그 펜켈-쌍대 $\Psi_{H^*}$의 모어스 복합체와 작용 필터링을 유지하면서 이somorphic이다.
• 이소모르피즘 $\Theta$는 반원통 위에서의 플로어 방정식의 해와 $s=0$에서의 혼합 경계 조건을 포함하는 하이브리드 문제를 통해 구성된다.
• 경계가 매끄러운 볼록 도메인의 심플렉틱 호모로지로부터 유도된 심플렉틱 용량은 그 경계 위의 닫힌 특성의 최소 작용과 같다.
• 이중 함수 $\Psi_{H^*}$는 유한한 모어스 지수를 가진 임계점을 가지며, 이는 무한차원 플로어 이론 $\Phi_H$와 이somorphic인 유한차원 모어스 이론을 가능하게 한다.
• 확장된 함수 $\widetilde{\Phi}_H$와 $\widetilde{\Psi}_{H^*}$는 미분동형사상 $\Gamma$에 의해 연결되며, 이는 그들의 모어스 복합체가 이somorphic임을 보장한다.