[논문 리뷰] Symplectic reflection algebras, Calogero-Moser space, and deformed Harish-Chandra homomorphism

Pavel Etingof, Victor Ginzburg|ArXiv.org|2000. 11. 16.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 40인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 유한군 Γ ⊂ Sp(V)에 대해 스모쓰 tích분 대수 ℂ[V]#Γ의 다중 매개변수 변형으로서 심플렉틱 반사 대수를 도입하여, 매클레이 대응의 심플렉틱 버전을 수립한다. 𝔤𝔩_n 위의 불변 미분 연산자에서 심플렉틱 반사 대수의 구면 부분대수로 향하는 변형된 하리슈-차이나 호모모르피즘을 구축하며, 이는 두 번째 순서 라플라스 연산자가 칼로제로-모저 연산자로 매핑됨을 보여주고, H_∞ 가 칼로제로-모저 공간 위의 특별한 벡터 복합체의 엔도모르피즘 대수와 동형임을 증명한다. 이 복합체의 섬유는 S_n의 정규 표현을 지닌다.

ABSTRACT

To any finite group G of automorphisms of a symplectic vector space V we associate a new multi-parameter deformation, H_k, of the smash product of G with the polynomial algebra on V. The algebra H_k, called a symplectic reflection algebra, is related to the coordinate ring of a universal Poisson deformation of the quotient singularity V/G. If G is the Weyl group of a root system in a vector space h and V=h\oplus h^*, then the algebras H_k are `rational' degenerations of Cherednik's double affine Hecke algebra. Let G=S_n, the Weyl group of g=gl_n. We construct a 1-parameter deformation of the Harish-Chandra homomorphism from D(g)^g, the algebra of invariant polynomial differential operators on gl_n, to the algebra of S_n-invariant differential operators with rational coefficients on C^n. The second order Laplacian on g goes, under the deformed homomorphism, to the Calogero-Moser differential operator with rational potential. Our crucial idea is to reinterpret the deformed homomorphism as a homomorphism: D(g)^g o {spherical subalgebra in H_k}, where H_k is the symplectic reflection algebra associated to S_n. This way, the deformed Harish-Chandra homomorphism becomes nothing but a description of the spherical subalgebra in terms of `quantum' Hamiltonian reduction. In the classical limit k -> \infty, our construction gives an isomorphism between the spherical subalgebra in H_\infty and the coordinate ring of the Calogero-Moser space. We prove that all simple H_\infty-modules have dimension n!, and are parametrised by points of the Calogero-Moser space. The algebra H_\infty is isomorphic to the endomorphism algebra of a distinguished rank n! vector bundle on this space.

연구 동기 및 목표

• 유한군 Γ ⊂ Sp(V)에 대해 몫 특이점 V/Γ의 변형 이론을 비가환 대수를 통해 개발하는 것, 특히 스모쓰 곱 ℂ[V]#Γ를 중심으로 하여.
• 유한부분군 Γ ⊂ Sp(V)에 대해 심플렉틱 반사 대수 H_κ를 통해 매클레이 대응의 심플렉틱 버전을 수립하는 것.
• 𝔤𝔩_n 위의 불변 미분 연산자에서 ℂ^n 위의 유리수 계수 미분 연산자로 향하는 1매개변수 변형 하리슈-차이나 호모모르피즘을 구축하는 것.
• H_κ의 고전적 극한(κ → ∞)이 칼로제로-모저 공간의 좌표 대수와 동형이며, H_∞ 가 S_n의 정규 표현을 지닌 섬유를 지닌 벡터 복합체의 엔도모르피즘 대수로 실현됨을 보이는 것.
• 모든 단순 H_∞-모듈러스의 차원이 n! 이며, 칼로제로-모저 공간의 점들에 의해 매개변수화됨을 증명하는 것.

제안 방법

• 심플렉틱 반사 대수 H_κ 를 텐서 대수 TV#Γ 의 몫으로 정의하며, 이는 Γ 내의 심플렉틱 반사의 공轭류에 따라 매개변수화된 비대칭 쌍체 κ: V×V → ℂΓ 를 포함하는 관계를 포함한다.
• 양자 해밀토니안 축소를 통해 변형된 하리슈-차이나 호모모르피즘을 D(𝔤)^𝔤 에서 H_κ 의 구면 부분대수로의 전성 사상으로 재해석한다.
• 반경 부분 구성법을 통해 D(𝔤)^𝔤 를 ℂ^n 위의 유리수 계수 미분 연산자로 감소시키는 반경 부분 사상(맵)을 구성한다.
• 변형된 호모모르피즘 아래에서 두 번째 순서 라플라스 연산자의 상이 유리수 잠재력을 지닌 칼로제로-모저 미분 연산자임을 식별한다.
• 고전적 극한(κ → ∞)에서 H_∞ 의 구면 부분대수가 칼로제로-모저 공간의 좌표 대수와 동형임을 증명한다.
• H_∞ 가 칼로제로-모저 공간 위의 계수 n! 벡터 복합체의 엔도모르피즘 대수와 동형임을 증명하며, 이 복합체의 섬유는 S_n 의 정규 표현을 지닌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한군 Γ ⊂ Sp(V)에 대해 몫 특이점 V/Γ 의 심플렉틱 기하학을 반영하는 대수 ℂ[V]#Γ 의 변형을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 반사 대수와 칼로제로-모저 공간의 기하학 사이의 관계는 무엇이며, 특히 고전적 극한에서 어떻게 나타나는가?
• RQ3 변형된 하리슈-차이나 호모모르피즘은 𝔤𝔩_n 위의 불변 미분 연산자와 심플렉틱 반사 대수의 구면 부분대수 사이에 어떻게 연결되는가?
• RQ4 단순 H_∞-모듈러스의 범주 구조는 어떻게 되며, 어떻게 매개변수화되는가?
• RQ5 심플렉틱 반사 대수 H_κ 는 양자 해밀토니안 축소로 해석될 수 있으며, 이는 관련 모듈리 공간의 기하학에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 심플렉틱 반사 대수 H_κ 는 다중 매개변수 변형된 ℂ[V]#Γ 이며, 매개변수 κ 는 Γ 내의 심플렉틱 반사의 공轭류를 인덱싱한다.
• 변형된 하리슈-차이나 호모모르피즘은 𝔤𝔩_n 위의 𝔤-불변 미분 연산자 대수에서 H_κ 의 구면 부분대수로의 사상이며, 두 번째 순서 라플라스 연산자가 칼로제로-모저 연산자로 매핑됨을 보여준다.
• 고전적 극한(κ → ∞)에서 H_∞ 의 구면 부분대수는 칼로제로-모저 공간의 좌표 대수와 동형이다.
• 모든 단순 H_∞-모듈러스의 차원은 n! 이며, 칼로제로-모저 공간의 점들에 의해 매개변수화된다.
• H_∞ 는 칼로제로-모저 공간 위의 특별한 벡터 복합체의 엔도모르피즘 대수와 동형이며, 이 복합체의 섬유는 S_n 의 정규 표현을 지닌다.
• 조화다항식으로부터 구성된 미분 연산자 S_𝔞 의 반경 부분은 칼로제로-모저 공간 위의 이동 연산자를 유도하며, 주요 기호는 와일 분모와 같다.