[논문 리뷰] Symplectic Runge-Kutta Semi-discretization for Stochastic Schrödinger Equation

Chuchu Chen, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 스트라토노비치 의미에서 스트로복스의 슈뢰딩거 방정식의 시간 반산화를 위한 확률적 심플렉틱 룽게쿠타 방법을 제안하며, 이를 무한차원 확률적 해밀턴 시스템으로 설정한다. 이 방법들은 심플렉틱성과 전하 보존을 유지하며, 수렴 정리에 의해 확률적 중간점 방법이 적절한 정규성 조건 하에서 2차 평균 제곱 수렴 순서 1을 달성함을 증명한다.

ABSTRACT

Based on a variational principle with a stochastic forcing, we indicate that the stochastic Schrödinger equation in Stratonovich sense is an infinite-dimensional stochastic Hamiltonian system, whose phase flow preserves symplecticity. We propose a general class of stochastic symplectic Runge-Kutta methods in temporal direction to the stochastic Schrödinger equation in Stratonovich sense and show that the methods preserve the charge conservation law. We present a convergence theorem on the relationship between the mean-square convergence order of a semi-discrete method and its local accuracy order. Taking stochastic midpoint scheme as an example of stochastic symplectic Runge-Kutta methods in temporal direction, based on the theorem we show that the mean-square convergence order of the semi-discrete scheme is 1 under appropriate assumptions.

연구 동기 및 목표

• 스트라토노비치 의미에서의 확률적 슈뢰딩거 방정식을 심플렉틱 위상 흐름을 갖는 무한차원 확률적 해밀턴 시스템으로 설정한다.
• 심플렉틱성과 전하 보존을 유지하는 시간 반산화를 위한 일반적인 확률적 심플렉틱 룽게쿠타 방법의 클래스를 개발한다.
• 반산화된 계획에 대해 局부 정확도 순서와 2차 평균 제곱 수렴 순서 사이의 관계를 연결하는 수렴 정리를 유도한다.
• 특정 심플렉틱 룽게쿠타 방법의 일례인 확률적 중간점 방법의 2차 평균 제곱 수렴 순서를 분석한다.
• 수렴성과 보존 성질에 대한 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 확률적 외력이 작용하는 변분 원리를 통해 무한차원 확률적 해밀턴 시스템을 수립한다.
• 시간 방향에 적용된 룽게쿠타 방법의 심플렉틱 조건을 유도하여 심플렉틱성 유지 보장을 확보한다.
• 심플렉틱 룽게쿠타 방법이 확률적 슈뢰딩거 방정식의 전하 보존 법칙도 유지함을 증명한다.
• 충분한 공간 정규성 조건 하에서 반산화 계획의 2차 평균 제곱 수렴 순서가 국부 정확도 순서와 동일함을 보여주는 수렴 정리를 수립한다.
• 수렴 정리를 확률적 중간점 방법에 적용하여, 적절한 가정 하에서 그 2차 평균 제곱 수렴 순서가 1임을 보여준다.
• 유한 차분을 공간에, 중간점 방법을 시간에 적용하여 수치 실험을 구현하며, 고해상도에서 계산된 기준 해를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스트라토노비치 의미에서의 확률적 슈뢰딩거 방정식은 심플렉틱 위상 흐름을 갖는 무한차원 확률적 해밀턴 시스템으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 이 시스템에 적용된 시간 방향의 룽게쿠타 방법에 대한 심플렉틱 조건은 무엇인가?
• RQ3 심플렉틱 룽게쿠타 방법은 확률적 슈뢰딩거 방정식의 전하 보존 법칙을 유지하는가?
• RQ4 이 방정식에 대한 반산화 계획에서 국부 정확도 순서와 2차 평균 제곱 수렴 순서 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 확률적 중간점 방법을 확률적 슈뢰딩거 방정식에 적용했을 때의 2차 평균 제곱 수렴 순서는 무엇인가?

주요 결과

• 스트라토노비치 의미에서의 확률적 슈뢰딩거 방정식은 위상 흐름이 심플렉틱성을 유지하는 무한차원 확률적 해밀턴 시스템이다.
• 시간에 대한 일반적인 확률적 심플렉틱 룽게쿠타 방법의 클래스를 제안하며, 이러한 방법들은 전하 보존 법칙을 유지한다.
• 특수한 심플렉틱 룽게쿠타 방법의 일례인 확률적 중간점 방법은 적절한 정규성 가정 하에서 2차 평균 제곱 수렴 순서 1을 달성한다.
• 수치 실험은 중간점 방법이 노이즈가 충분히 정규적일 경우(예: $M=10$ 또는 $M=50$이고 $\mathbf{Q}$ 연산자가 매끄럽다면) 확률적 상황에서 순서 1 수렴을 달성함을 확인한다.
• 노이즈가 덜 정규적일 경우(예: $M=8$ 또는 $M=100$), 수렴 순서는 약 0.5로 감소하며, 이는 해의 정규성과 노이즈 연산자 간의 의존성과 일치한다.
• 비심플렉틱 방법은 전하와 에너지를 보존하지 못하며, 전하는 선형 감소하고 평균 에너지는 비선형 증가를 보이지만, 심플렉틱 중간점 방법은 전하 보존과 유한한 에너지 증가를 유지한다.