[论文解读] Synthetic geometry of differential equations: I. Jets and comonad structure

Igor Khavkine, Urs Schreiber|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文通过在微分凝聚拓扑中将喷丛构造推广为一个余单子，发展了一套用于偏微分方程（PDEs）的合成微分几何框架。它证明了形式可积PDE的范畴与该合成喷丛余单子的Eilenberg-Moore余代数范畴等价，从而统一了经典PDE理论与超几何及高阶微分几何等扩展背景。

ABSTRACT

We give an abstract formulation of the formal theory partial differential equations (PDEs) in synthetic differential geometry, one that would seamlessly generalize the traditional theory to a range of enhanced contexts, such as super-geometry, higher (stacky) differential geometry, or even a combination of both. A motivation for such a level of generality is the eventual goal of solving the open problem of covariant geometric pre-quantization of locally variational field theories, which may include fermions and (higher) gauge fields. (abridged)

研究动机与目标

• 将PDE的正式理论推广至普通流形之外的范畴，涵盖超几何、高阶微分几何以及叠的设定。
• 解决涉及费米子与规范场的局部可变场论的协变几何预量子化这一开放问题。
• 提供一种合成的、拓扑论的喷丛与PDE表述，涵盖并推广经典构造。
• 在任意微分凝聚拓扑中建立形式可积PDE的自然定义。
• 证明此类PDE的范畴与合成喷丛余单子的Eilenberg-Moore范畴等价，推广了Vinogradov与Marvan的结果。

提出的方法

• 将喷丛构造作为沿‘无穷小形状’函子单位的基变换余单子进行推广，记为 $\Im$。
• 将合成喷丛余单子 $J^\infty_\Sigma$ 定义为形式单位球丛函子 $T^\infty_\Sigma$ 的右伴随，形成伴随关系 $T^\infty_\Sigma \dashv J^\infty_\Sigma$。
• 利用 $J^\infty_\Sigma$ 上余代数的Eilenberg-Moore范畴，定义了一般拓扑中形式可积PDE的范畴。
• 将余单子结构应用于经典PDE理论在普通流形上的情形，此时其与Marvan的余单子及Vinogradov的范畴一致。
• 在相关例子中利用 $\Im$ 的单位的满射性质，证明PDE范畴与截面范畴 $\mathbf{H}_{/\Im\Sigma}$ 等价。
• 采用合成微分几何与拓扑论工具，包括形式光滑集与局部仿射流形，来定义广义空间与态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将PDE的正式理论推广至光滑流形之外的背景，如超流形或高阶叠？
• RQ2 合成微分几何中喷丛的范畴结构为何？它是否推广了Marvan的余单子构造？
• RQ3 能否在微分凝聚拓扑中给出形式可积PDE的统一合成定义？
• RQ4 在何种条件下，空间 $\Sigma$ 上的PDE范畴可简化为 $\Im\Sigma$ 上的截面范畴？
• RQ5 该合成框架如何支持包含费米子与规范场的局部可变场论的几何预量子化？

主要发现

• 合成喷丛余单子 $J^\infty_\Sigma$ 作为沿无穷小形状函子 $\Im$ 的单位的基变换余单子被构造，推广了经典喷丛构造。
• 在任意微分凝聚拓扑中，形式可积PDE的范畴与 $J^\infty_\Sigma$ 上余代数的Eilenberg-Moore范畴等价，即 $\mathrm{PDE}_{/\Sigma}(\mathbf{H}) \simeq \mathrm{EM}(J^\infty_\Sigma)$。
• 当 $\Im$ 的单位为满射时，PDE的范畴与截面范畴 $\mathbf{H}_{/\Im\Sigma}$ 等价，从而提供了方便的范畴表示。
• 在普通流形上，合成喷丛余单子恢复了Marvan的余单子，由此导出的PDE范畴与Vinogradov的范畴一致，验证了该推广的合理性。
• 该框架通过 $J^\infty_\Sigma$ 的余Kleisli范畴自然容纳广义微分算子，满足 $\mathrm{DiffOp}_{/\Sigma}(\mathbf{H}) \simeq \mathrm{Kl}(J^\infty_\Sigma|_{\mathcal{C}})$。
• 截面 $\sigma: \Sigma \to E$ 的喷延长由 $j^\infty\sigma: \Sigma \to J^\infty_\Sigma E$ 给出，实现了喷延拓的普遍性质。