[논문 리뷰] Systematic Measures of Biological Networks, Part I: Invariant measures and Entropy

Yao Li, Yingfei Yi|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 05.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확률적 미분 방정식을 사용하여 생물학적 네트워크의 열악성, 복잡성 및 내성에 대한 수학적 기반을 수립한다. 포켈-플랑크 방정식의 정적 측도의 미분 엔트로피가 전역 긁적의 차원에 비례하는 값으로 수렴함을 보이며, 엔트로피의 극한이 log ε로 스케일링되었을 때 n−d와 같아진다. 여기서 d는 긁적의 차원이고 n은 환경 차원이다.

ABSTRACT

This paper is Part I of a two-part series devoting to the study of systematic measures in a complex biological network modeled by a system of ordinary differential equations. As the mathematical complement to our previous work [31] with collaborators, the series aims at establishing a mathematical foundation for characterizing three important systematic measures: degeneracy, complexity and robustness, in such a biological network and studying connections among them. To do so, we consider in Part I stationary measures of a Fokker-Planck equation generated from small white noise perturbations of a dissipative system of ordinary differential equations. Some estimations of concentration of stationary measures of the Fokker-Planck equation in the vicinity of the global attractor are presented. Relationship between differential entropy of stationary measures and dimension of the global attractor is also given.

연구 동기 및 목표

• 생물학적 네트워크를 일반 미분 방정식으로 모델링한 경우에 대해 열악성, 복잡성 및 내성을 체계적으로 측정하기 위한 엄밀한 수학적 프레임워크를 개발한다.
• 계통발생적 프레임워크와 이론적 분석의 부족으로 인해 열악성 개념이 생물학계통학에서 핵심 개념임에도 불구하고 이론적 기반을 마련한다.
• 백색 잡음에 의한 확률적 편향을 포켈-플랑크 방정식의 불변 측도를 통해 네트워크 수준의 성질을 정량화하는 데 연결한다.
• 소산 시스템에서 정적 측도의 미분 엔트로피와 전역 긁적의 기하학적 차원 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 소음 유도 동역학이 내재된 네트워크 성질인 내성과 구조적 복잡성과 어떻게 관련되는지 이해하기 위한 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 생물학적 네트워크를 전역 긁적을 가진 일반 미분 방정식(ODE)의 소산 시스템으로 모델링한다.
• 소규모의 덧셈형 백색 잡음 편향을 ODE에 도입하여 확률적 미분 방정식(SDE) 시스템을 유도한다.
• SDE의 확률 밀도 함수의 시간 진화를 기술하는 연관된 포켈-플랑크 방정식을 유도한다.
• 전이 밀도의 장기적 한계로서 포켈-플랑크 방정식의 정적 측도(불변 확률 측도)를 분석한다.
• 정규성 가정과 함께 수준집합 방법을 사용하여 전역 긁적 근처의 밀도 집중도를 추정한다.
• 정적 밀도에 대한 엔트로피 분석을 적용하여, 소음 강도 ε→0 일 때의 미분 엔트로피에 대한 점 渐진적 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈가 있는 생물학적 네트워크의 정적 측도의 미분 엔트로피는 그 전역 긁적의 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 소음 강도 ε가 0에 수렴할 때 정적 측도의 엔트로피의 점 渐진적 행동은 어떠한가?
• RQ3 정적 측도의 엔트로피가 log ε에 대해 선형적으로 스케일링되는 조건은 무엇이며, 이는 네트워크 구조에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 확률적 동역학과 불변 측도를 사용하여 생물학적 네트워크의 열악성 개념을 어떻게 수학적으로 형식화할 수 있는가?
• RQ5 정적 측도가 긁적에 대해 가지는 정규성은 엔트로피 스케일링을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정적 측도의 미분 엔트로피는 다음 하한 경계를 만족한다: liminf_{ε→0} H(μ_ε)/log ε ≥ n−d, 여기서 d는 전역 긁적의 차원이고 n은 환경 차원이다.
• 정적 측도에 대한 정규성 가정 하에서 엔트로피 스케일링은 등호를 만족한다: lim_{ε→0} H(μ_ε)/log ε = n−d.
• 정적 측도의 엔트로피는 점 渐진적으로 log ε에 비례하며, 비례 상수는 위상공간 내 긁적의 여차원과 같다.
• ε→0 일 때 정적 측도의 농도는 전역 긁적 근처에 밀도 있게 국소화되며, 그 외부로는 지수적으로 감소한다.
• 수준집합 방법과 엔트로피 볼록성 추정을 통해 긁적 이웃 영역 외부의 엔트로피 기여를 경계할 수 있다.
• 결과들은 생물학적 네트워크의 열악성과 복잡성에 대해 기하학적 및 확률적 구조에 기반한 이론적 기초를 제공한다.