[论文解读] SYZ mirror symmetry for toric varieties

Kwokwai Chan|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 59被引用 5

一句话总结

本文通过SYZ构造，为 торических Калаби-Яу многообразий 建立了SYZ к镜像 симметрии的几何实现，表明镜像族由带有量子修正的对偶环丛纤维化给出。关键结果证明，复化凯勒参数由镜像全纯体积形式在特定周期上的周期积分确定，通过热带盘计数将开Gromov-Witten不变量与镜像映射联系起来。

ABSTRACT

We survey recent developments in the study of SYZ mirror symmetry for compact toric and toric Calabi-Yau varieties, with a special emphasis on works of the author and his collaborators.

研究动机与目标

• 通过SYZ-гипотезы为 торических Калаби-Яу многообразий 提供镜像的几何构造。
• 建立复化凯勒参数与镜像全息体积形式周期积分之间的对应关系。
• 验证0亏格开Gromov-Witten不变量的生成函数与Gross-Siebert程序中的板函数一致。
• 将SYZ镜像构造推广至 торических Калаби-Яу орбифолдов，并证明裂纹变换猜想的开集类比。
• 通过热带方法和对数Gromov-Witten理论，将SYZ镜像族与Gross-Siebert程序联系起来。

提出的方法

• 将SYZ镜像构造为在 торическом Калаби-Яу многообразии 上的特殊拉格朗日环丛纤维化 的纤维对偶的总空间。
• 使用0亏格开Gromov-Witten不变量的生成函数定义SYZ映射，其编码了全纯盘的枚举数据。
• 利用McLean度量和Legendre变换，关联纤维化基上的辛结构与复仿射结构。
• 应用轨道丛技术，将SYZ镜像构造推广至 торических Калаби-Яу орбифолдов。
• 证明镜像全息体积形式在特定周期上的周期积分可重现复化凯勒参数。
• 利用开/闭等式和Givental的镜像定理，在Fano情形下将开不变量与周期积分关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 торических Калаби-Яу многообразий 显式实现SYZ к镜ло симметрии构造？
• RQ2 0亏格开Gromov-Witten不变量的生成函数与镜像映射之间的确切关系是什么？
• RQ3 镜像全息体积形式的周期积分能否被解释为编码复化凯勒参数？
• RQ4 热带盘计数与周期积分及Gross-Siebert程序中的板函数有何关系？
• RQ5 SYZ镜像族是否与Gross-Siebert程序在 торических Калаби-Яу 设置下构造的镜像一致？

主要发现

• 对于 торического Калаби-Яу многообразия, SYZ镜像族被构造为对偶环丛纤维化，其中量子修正由SYZ映射编码。
• 对于任意 торическое Калаби-Яу многообразия, 存在镜像中线性无关的周期，使得复化凯勒参数由镜像全息体积形式周期积分的指数给出。
• 0亏格开Gromov-Witten不变量的生成函数与Gross-Siebert程序中的板函数一致，证实了Gross-Siebert对 торических Калаби-Яу 3-многообразий 的一个猜想。
• 利用开/闭等式和Givental的镜像定理，证明了在 $K_{ ext{Fano}}$ 流形情形下，周期积分与开不变量之间的对应关系。
• 通过热带方法证明SYZ镜像族与Gross-Siebert镜像一致，Lau最近的结果证实了生成函数与板函数的相等性。
• 该构造自然地推广至 торических Калаби-Яу орбифолдов，使得裂纹变换猜想的开集类比得以实现。