[论文解读] Szegő kernel expansion and equivariant embedding of CR manifolds with circle action

Hartmut Herrmann, Chin-Yu Hsiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了在具有横截CR圆周作用的紧致强拟凸CR流形上，正傅里叶分量的Szegő核的渐近展开。利用该展开，作者证明了一个等变CR嵌入定理，表明此类流形可被等变地嵌入复空间$\mathbb{C}^N$中，且作用为$S^1$的简单作用，其中作用的最小权可被任意大。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact strongly pseudoconvex CR manifold with a transversal CR $S^1$-action. In this paper, we establish the asymptotic expansion of Szegő kernels of positive Fourier components and by using the asymptotics, we show that $X$ can be equivariant CR embedded into some $\mathbb C^N$ equipped with a simple $S^1$-action. An equivariant embedding of quasi-regular Sasakian manifold is also derived.

研究动机与目标

• 建立在具有横截$S^1$-作用的紧致强拟凸CR流形上，正傅里叶分量的Szegő核的渐近展开。
• 使用分析方法解决此类CR流形的等变嵌入问题。
• 证明嵌入可关于$\mathbb{C}^N$上的简单$S^1$-作用实现等变，且作用的最小权可任意大。
• 通过核渐近性实现等变性与分析控制，扩展已知的嵌入结果。

提出的方法

• 使用[22, 23]中的技术及一个通用展开结果（定理2.4），在CR流形的正则部分上推导Szegő核$S_m$的渐近展开。
• 通过证明修正的展开（定理2.7）来处理非正则部分的奇点，尽管首项失去光滑性。
• 利用核展开构造一组形成等变嵌入到$\mathbb{C}^N$中的CR函数。
• 采用受Hsiao [19] 启发的方法，通过加权齐次坐标确保嵌入尊重$S^1$-作用。
• 使用局部坐标和截断函数分析核衰减，避免在渐近区域出现矛盾。
• 使用Schauder不等式与通过$f_m(t)$的反证法，排除非对称构型下的非平凡核行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$S^1$-作用的固定点集附近，具有横截$S^1$-作用的CR流形上，正傅里叶分量的Szegő核是否仍可进行渐近展开？
• RQ2 Szegő核的渐近展开是否允许构造一个等变CR嵌入到$\mathbb{C}^N$中？
• RQ3 在该类嵌入中，$\mathbb{C}^N$上$S^1$-作用的最小权是否可任意大？
• RQ4 是否可能在保持CR结构与圆周作用的同时实现嵌入的等变性？

主要发现

• Szegő核$S_m$在CR流形的正则部分上具有完整的渐近展开，首项捕捉了局部几何与动力学。
• 即使在非正则部分，也存在修正的渐近展开，尽管首项在正则-奇异边界处不再光滑变化。
• 作者构造了一个等变CR嵌入$\Phi: X \to \mathbb{C}^N$，满足$\Phi(e^{i\theta} \circ x) = e^{i\theta} \circ \Phi(x)$。
• 通过在定理1.2中适当选择$m_0$，可使$\mathbb{C}^N$上$S^1$-作用的最小权任意大。
• 嵌入通过CR函数$\Phi_1, \dots, \Phi_N$实现，其变换权满足$m_j > m_0$，从而保证等变性。
• 通过$f_m(t)$与核衰减的反证法，排除了非对称构型下的非平凡核行为，验证了嵌入的唯一性与单射性。