[논문 리뷰] Étale groupoids and their $C^*$-algebras

Aidan Sims|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 30.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 하우스도르프 에탈 군oids와 관련된 $C^*$-대수의 이론에 대해 간결한 소개를 제공하며, 그 구조, 분류, 카르탕 쌍과 딕스미에르–두아디 이론과의 관계를 중심으로 다룬다. 이는 펠 대수를 모리타 동치에 대해 분류하는 코homological 불변량 $\delta(A) \in H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$를 수립하며, 연속 추적 경우의 고전적 딕스미에르–두아디 불변량을 일반화한다.

ABSTRACT

These notes were written as supplementary material for a five-hour lecture series presented at the Centre de Recerca Mathemàtica at the Universitat Autònoma de Barcelona from the 13th to the 17th of March 2017. The intention of these notes is to give a brief overview of some key topics in the area of $C^*$-algebras associated to étale groupoids. The scope has been deliberately contained to the case of étale groupoids with the intention that much of the representation-theoretic technology and measure-theoretic analysis required to handle general groupoids can be suppressed in this simpler setting. A published version of these notes will appear in the volume tentatively titled "Operator algebras and dynamics: groupoids, crossed products and Rokhlin dimension" by Gabor Szabo, Dana P. Williams and myself, and edited by Francesc Perera, in the series "Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona." The pagination of this arXiv version is not identical to Birkhäuser's style, but I have tried to make it close. The theorem numbering should be correct. I'm grateful to the CRM and Birkhäuser for allowing me to post a version on arXiv.

연구 동기 및 목표

• 에탈 군oids의 $C^*$-대수를 연구하기 위한 최소한의 표현 이론적 프레임워크를 체계화하기 위해.
• 펠 대수의 분류 정리를 코homological 불변량 $\delta(A)$를 통해 $H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$에 정의함으로써 수립하기 위해.
• 완전한 군oids의 $C^*$-대수를 연구하기 위해 티브스와 샤프 코homology를 이용해 딕스미에르–두아디 이론을 펠 대수로 일반화하기 위해.
• 군oids의 $C^*$-대수, 카르탕 부분대수, 스펙트럼 불변량 간의 관계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 에탈 군oids의 전부 및 축소된 $C^*$-대수를 컨volution 대수와 군oids 표현을 통해 구성하기 위해.
• 군oids 확장에서 $\mathbb{T}$-행동의 풀백을 이용해 등가관계 위의 티브스를 정의하기 위해.
• 위상적 등가관계 $R$ 위의 티브스의 동형류 집합을 이루는 군 $\mathrm{Tw}_R$를 정의하며, 그 연산은 섬유곱으로 주어진다.
• 펠 대수 $A$에 대해 스펙트럼의 샤프 코hom로 표현되는 군환 $\rho_R: \mathrm{Tw}_R \to H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$를 구성하기 위해.
• 카르탕 쌍에 관련된 티브스의 이미지로 불변량 $\delta(A)$를 정의하며, 쌍의 선택과 무관하게 잘 정의됨을 보이기 위해.
• 레이버른–테일러 구성법을 사용해, 국소적으로 국소 콪프니스하고 국소 하우스도르프 공간 $X$에 대해 $H^2(X, \mathcal{S})$의 모든 클래스가 펠 대수의 불변량으로 표현될 수 있음을 보이기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에탈 군oids의 $C^*$-대수를 최소한의 해석적 및 표현 이론적 부담으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 티브스와 샤프 코homology는 펠 대수의 분류에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 불변량 $\delta(A)$는 연속 추적 경우의 고전적 딕스미에르–두아디 불변량과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 스펙트럼 및 코homological 자료에 의해 $C^*$-대수가 다른 대수와 모리타 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 모든 $H^2(X, \mathcal{S})$의 클래스가 주어진 국소적으로 국소 콱프니스하고 국소 하우스도르프 공간 $X$에 대해 펠 대수의 불변량으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 위상적 등가관계 $R$ 위의 티브스의 동형류는 섬유곱 연산에 대해 아벨 군 $\mathrm{Tw}_R$를 이룬다.
• 모든 티브스에 대해 펠 대수 $A$의 스펙트럼의 샤프 코homology에 값이 존재하는 군환 $\rho_R: \mathrm{Tw}_R \to H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$가 존재한다.
• 불변량 $\delta(A) \in H^2(\widehat{A}, \mathcal{S})$는 잘 정의되어 있으며, 카르탕 쌍의 구성 방법과 무관하다.
• 두 펠 대수 $A$와 $A'$는 모리타 동치일 필요충분조건이, $\delta(A)$를 $\delta(A')$로 보내는 코homology 군의 동형을 유도하는 $\widehat{A} \to \widehat{A'}$의 호메오모르피즘이 존재하는 것이다.
• 모든 국소적으로 국소 콱프니스하고 국소 하우스도르프 공간 $X$와 모든 $\delta \in H^2(X, \mathcal{S})$에 대해, $\widehat{A} \cong X$이고 $\delta(A) = \delta$를 만족하는 펠 대수 $A$가 존재한다.
• 이러한 대수의 구성은, 적절한 군oids 위에서 정의된 체흐 코호몰로지 2-코chain을 이용한 티브스를 정의하는 레이버른–테일러 방법을 통해 달성된다.