[논문 리뷰] Tapering off qubits to simulate fermionic Hamiltonians

Sergey Bravyi, Jay Gambetta외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 36인용 수 185

한 줄 요약

본 논문은 대칭성을 활용해 페르미온 시스템의 큐빗 효율적 인코딩을 개발하고, 1차 및 2차 양자화 접근법과 LDPC 기반의 희소성 기법을 사용하여 페르미온 해밀토니언을 시뮬레이션하고 변분 양자 알고리즘에 필요한 큐비트 수를 줄이는 방법을 제시합니다.

ABSTRACT

We discuss encodings of fermionic many-body systems by qubits in the presence of symmetries. Such encodings eliminate redundant degrees of freedom in a way that preserves a simple structure of the system Hamiltonian enabling quantum simulations with fewer qubits. First we consider $U(1)$ symmetry describing the particle number conservation. Using a previously known encoding based on the first quantization method a system of $M$ fermi modes with $N$ particles can be simulated on a quantum computer with $Q=N\log{(M)}$ qubits. We propose a new version of this encoding tailored to variational quantum algorithms. Also we show how to improve sparsity of the simulator Hamiltonian using orthogonal arrays. Next we consider encodings based on the second quantization method. It is shown that encodings with a given filling fraction $ν=N/M$ and a qubit-per-mode ratio $η=Q/M<1$ can be constructed from efficiently decodable classical LDPC codes with the relative distance $2ν$ and the encoding rate $1-η$. A family of codes based on high-girth bipartite graphs is discussed. Graph-based encodings eliminate roughly $M/N$ qubits. Finally we consider discrete symmetries, and show how to eliminate qubits using previously known encodings, illustrating the technique for simple molecular-type Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• particle 수 보존과 같은 대칭성을 활용하여 양자 하드웨어에서 페르미온 시스템의 효율적 시뮬레이션을 동기 부여합니다.
• 필요한 큐비트 수를 줄이면서도 해밀토니언 구조를 다루기 쉽도록 인코딩을 개발합니다.
• 실용적인 변분 양자 알고리즘을 가능하게 하는 희소한 시뮬레이터를 구성하는 체계적인 방법을 제공합니다.
• 1차 양자화와 2차 양자화에 근거한 인코딩을 탐구하고 그 확장성과 적용 가능성을 분석합니다.

제안 방법

• 인코딩을 N-입자 대상 공간에서 Q-큐빗 시뮬레이터 공간으로의 등거리사상(isometry)으로 정의하고 H_sim E = E H_tgt를 만족시키며 코드스페이스에서 기준상태를 갖도록 합니다.
• 1차 양자화의 경우 반대칭성을 강제하기 위한 패널티 항을 갖춘 희소한 반대칭적 1차 양자화 시뮬레이터 해밀토니언 H_sim = T + U + g H^⊥를 구성합니다.
• Rao-Hamming 직교 배열을 사용해 H_sim을 r개의 희소한 기저-특이 방향 항으로 분해하고 r ≈ 9^m (m = log2 M) 수준으로 측정 효율성을 높입니다.
• Schur 이중성에 의해 코드스페이스에서 H_sim의 바닥상 에너지가 목표 바닥 에너지와 일치함을 보여주고, 노름을 한정하기 위한 제어 가능한 g를 도입합니다.
• 2차 양자화의 경우 효율적으로 해독 가능한 고전 LDPC 코드에서 인코딩을 구성하여 큐비트-당 모드 비율 η와 채움 ν를 제공하고, 바운드된 노름을 갖는 희소 시뮬레이터를 달성합니다.
• Z2 대칭(짝수성)에 대해 논의하고 파리티 기반 인코딩을 사용해 큐비트를 제거하는 방법을 간단한 분자형 해밀토니언으로 설명합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H_tgt의 올바른 저에너지 스펙트럼을 보존하면서 페르미온 시뮬레이션에서 큐빗을 어떻게 탭핑할 수 있는가?
• RQ2 어떤 대칭성(예: 입자 수, Z2 파리티)이 해밀토니언 구조를 손상시키지 않으면서 큐빗 수를 줄이도록 활용될 수 있는가?
• RQ3 주어진 채움 비율과 큐빗 예산에서 시뮬레이터 해밀토니언은 얼마나 희소해질 수 있는가?
• RQ4 LDPC, 고-길이 그래프 등 어떤 코딩 이론적 구성들이 페르미온 시뮬레이션에 대해 실용적이고 효율적으로 해독 가능한 인코딩을 제공하는가?
• RQ5 1차 양자화와 2차 양자화 인코딩은 변분 알고리즘의 적용성 및 희소성에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 희소한 1차 양자화 유사 인코딩으로 Q = N log2(M) 큐빗을 사용할 때 시뮬레이터의 희소성은 작음 N에서 r ≤ 9 M^3.17로 나타나 큐빗 사용을 줄일 수 있습니다.
• LDPC 코드에 기초한 2차 양자화 인코딩은 η = Q/M < 1과 ν = N/M를 특정 경계 하에서 달성하여, ν < 1/4인 경우 큐빗 감축이 M/N에 비례하여 가능해집니다.
• 고-길이 이분 그래프를 가진 그래프 기반 LDPC 인코딩은 대략 M/N 큐빗을 제거하고 특정 연산자에 대해 2-희소 두-체와 32-희소 네-체 시뮬레이터를 제공합니다.
• Z2 대칭(파리티)은 큐빗을 체계적으로 제거하는 데 활용될 수 있으며, 분자형 타입의 해밀토니안에 대해 예시로 설명합니다.
• 1차 양자화 인코딩이 가장 큰 큐빗 감소를 제공하지만 작은 N에 한정되고, 2차 양자화 인코딩은 더 넓은 적용 가능성과 더 희소한 시뮬레이터를 제공합니다.