[논문 리뷰] Technical Report: Convex Optimization of Nonlinear Feedback Controllers via Occupation Measures

Anirudha Majumdar, Ram Vasudevan외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 31.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 32인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다항 동역계에서 시간 제한된 뒤로 향하는 도달 가능 집합(BRS)의 크기를 최대화하는 비선형 피드백 제어기를 설계하기 위한 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 제어 합성 문제를 점유 측도 위에서의 무한차원 선형프로그램(LP)으로 공식화하고, 유한차원의 정수형프로그램(SDP) 근사를 통해 해결함으로써, 초기화가 필요 없이 다항 제어 법칙과 최대 BRS의 외부 근사치를 제공하는, 비볼록 리아푸노프 기반 방법에 비해 전역 수렴성과 볼록성을 확보한 방법이다.

ABSTRACT

In this paper, we present an approach for designing feedback controllers for polynomial systems that maximize the size of the time-limited backwards reachable set (BRS). We rely on the notion of occupation measures to pose the synthesis problem as an infinite dimensional linear program (LP) and provide finite dimensional approximations of this LP in terms of semidefinite programs (SDPs). The solution to each SDP yields a polynomial control policy and an outer approximation of the largest achievable BRS. In contrast to traditional Lyapunov based approaches which are non-convex and require feasible initialization, our approach is convex and does not require any form of initialization. The resulting time-varying controllers and approximated reachable sets are well-suited for use in a trajectory library or feedback motion planning algorithm. We demonstrate the efficacy and scalability of our approach on five nonlinear systems.

연구 동기 및 목표

• 입력 포화가 있는 언더액チュ에이티드 비선형 로봇 시스템에 대한 피드백 제어기를 설계하는 데 있어, 기존의 선형화나 리아푸노프 기반 방법이 실패하거나 초기화가 필요로 하는 문제에 대응하기 위해.
• 시간 제한된 뒤로 향하는 도달 가능 집합(BRS)의 크기를 최대화하는 것, 즉 유한한 시간 내에 유효한 제어 입력을 사용해 목표 집합에 도달할 수 있는 초기 상태의 집합을 최대화하는 것.
• 기존 리아푸노프 기반 기법의 비볼록성과 초기화 의존성 문제를 피하는 볼록적이고 전역 수렴 가능한 피드백 제어기 합성 방법을 개발하기 위해.
• 다양한 초기 조건을 안정화하는 단일 비선형 제어기를 통해, 로컬 선형 제어기 라이브러리의 대체 가능성을 높이고 스케일러블하고 강건한 피드백 운동 계획을 가능하게 하기 위해.
• 유한차원의 정수형프로그램(SDP) 근사를 통해 최적 해에 점차적으로 수렴하는 유한차원 근사치를 제공함으로써, 점차적으로 감소하는 비보수성(conservatism)을 확보하기 위해.

제안 방법

• 제어 합성 문제는 상태 및 제어 공간에서 궤적의 분포를 나타내는 비음수 점유 측도 위에서의 무한차원 선형프로그램(LP)으로 공식화된다.
• 무한차원 LP는 모멘트 기반 근사와 제곱합(SOS) 기법을 사용하여 유한차원 정수형프로그램(SDP)의 시퀀스로 근사화된다.
• SDP 해는 다항 피드백 제어 법칙과 최대 달성 가능한 BRS의 외부 근사치를 제공하며, 약한 수렴성과 점차 감소하는 비보수성에 의해 수렴 보장을 받는다.
• 역학에서의 삼각함수 및 비선형 항은 유리적 매개변수화와 리프팅 기법을 통해 다항식 형태를 유지하도록 처리된다.
• 무한차원 LP의 이중 문제를 통해 일부 집합이 목표 집합에 도달할 수 없음을 증명할 수 있으며, 이는 비음수 연속 함수를 통해 BRS의 외부 근사치를 제공한다.
• 이 방법은 LMI 해소기로 구현되었으며, 평면형 큐드로터와 인공위성 자세 제어를 포함한 다섯 개의 비선형 시스템에서 검증되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기화가 필요 없이 시간 제한된 뒤로 향하는 도달 가능 집합(BRS)의 크기를 최대화하는 비선형 피드백 제어기를 설계하기 위한 볼록 최적화 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 점유 측도를 어떻게 활용하여 비볼록 피드백 제어 합성 문제를 볼록 무한차원 LP로 변환할 수 있는가?
• RQ3 무한차원 LP의 유한차원 SDP 근사에 대해 비보수성과 약한 수렴성 측면에서 어떤 수렴 보장을 확보할 수 있는가?
• RQ4 이 방법이 로컬 선형 제어기 라이브러리의 대체로 사용될 수 있는 정도는 어느 정도이며, 단일 비선형 제어기를 통해 더 큰 초기 조건 집합을 안정화할 수 있는가?
• RQ5 입력 포화가 있는 고차원 비선형 시스템, 예를 들어 6차원 인공위성 자세 제어 시스템과 같은 시스템에서 이 방법의 확장성은 어느 정도인가?

주요 결과

• 이 방법은 평면형 큐드로터와 6차원 인공위성 자세 제어 시스템을 포함한 다섯 개의 비선형 시스템에 대해 다항 피드백 제어기와 최대 BRS의 외부 근사치를 성공적으로 계산하였다.
• 평면형 큐드로터의 경우, 차수 $k=2$인 SDP는 약 49분이 소요되었고, 4초 이내 시간 범위 내에서 큰 초기 조건 집합을 안정화시켰다.
• 차수 $k=3$인 인공위성 자세 제어 사례는 약 6시간이 소요되었으며, 초평면에서 샘플링된 초기 조건을 안정화시켰다. $k=2$일 경우 약 5분이 소요되었고, 다소 덜 보수적인 결과를 얻었다.
• 이론적 수렴 보장이 확립되었으며, 각 SDP 해는 점차적으로 감소하는 비보수성을 갖는 BRS의 외부 근사치를 제공하며, 해의 부분수열이 최적의 무한차원 LP 해로 약한 수렴성을 보였다.
• 이 방법은 비볼록성과 초기화 의존성 문제를 피하는 볼록이고 초기화 없이 전역 최적화를 가능하게 하여, 기존 리아푸노프 기반 방법보다 우수하다. 이는 비선형성과 이중 반복 최적화 또는 국소 최적해에 대한 위험 없이 BRS의 전역 최적화를 가능하게 한다.
• 이 방법은 다수의 로컬 선형 제어기를 단일 비선형 제어기로 대체할 수 있게 하여, 피드백 운동 계획 라이브러리에서 필요한 궤적 수를 크게 줄였다.