[논문 리뷰] Tensor networks and graphical calculus for open quantum systems

Christopher J. Wood, Jacob Biamonte외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 개방 양자 시스템을 위한 텐서 네트워크 기반의 도식적 계산 체계를 소개한다. 이는 완전히 양성 맵과 그 표현 방식(예: 초이-행렬, 크라우스, 과정 행렬)의 직관적이고 시각적인 다루기를 가능하게 한다. 웨이어 벤딩 dualities와 텐서 수축을 통해 표현 간 변환을 단순화하고, 평균 게이트 편향 및 앤실라 보조 과정 톰그래피 조건과 같은 핵심 양자정보 측정치에 대한 간결한 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We describe a graphical calculus for completely positive maps and in doing so review the theory of open quantum systems and other fundamental primitives of quantum information theory using the language of tensor networks. In particular we demonstrate the construction of tensor networks to pictographically represent the Liouville-superoperator, Choi-matrix, process-matrix, Kraus, and system-environment representations for the evolution of quantum states, review how these representations interrelate, and illustrate how graphical manipulations of the tensor networks may be used to concisely transform between them. To further demonstrate the utility of the presented graphical calculus we include several examples where we provide arguably simpler graphical proofs of several useful quantities in quantum information theory including the composition and contraction of multipartite channels, a condition for whether an arbitrary bipartite state may be used for ancilla assisted process tomography, and the derivation of expressions for the average gate fidelity and entanglement fidelity of a channel in terms of each of the different representations of the channel.

연구 동기 및 목표

• 완전히 양성 맵의 기본 표현 방식(예: 초이-행렬, 크라우스, 과정 행렬) 간의 표현과 변환을 텐서 네트워크를 통해 통합하고 단순화하는 것.
• 개방 시스템 내 양자 연산에 대한 직관적이고 다이어그램 기반의 추론을 가능하게 하는 도식적 계산 체계를 개발하여 대수적 복잡성을 줄이는 것.
• 이 프레임워크의 유용성을 입증하기 위해 양자정보 이론의 기존 결과들을 더 단순하고 투명한 도식적 증명을 통해 유도하는 것.
• 복합 시스템, 초연산자, 양자정보 처리에서의 상태 평균을 다루는 체계적이고 시각적인 방법을 제공하는 것.
• 도식적 추론을 통해 향후 양자 과정 톰그래피, 편향 분석, 양자 프로토콜 설계에 응용할 수 있는 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 양자 채널과 초연산자를 인덱스가 레이블링된 그래픽 텐서로 표현하기 위해 펜로즈의 텐서 네트워크 표기법을 사용한다.
• 초이-자미올로프스키 이sovorphism을 통한 웨이어 벤딩 dualities를 적용하여 리우빌-초연산자와 초이-행렬 간의 표현 간 변환을 수행한다.
• 이중 상태를 효과적 초연산자로 변환하기 위해 벡터화 및 재정렬 연산을 사용하여 앤실라 보조 과정 톰그래피 분석을 가능하게 한다.
• n-부분체 시스템의 대칭 부분공간에 대한 프로젝터를 n!개의 순열 연산자(스왑)의 합으로 표현하여 상태 평균을 계산한다.
• 텐서 네트워크 수축을 적용하여 순수 상태의 n중 텐서곱에 대한 평균 ∫|ψ⟩⟨ψ|⊗n을 포함하는 표현을 단순화하고 대칭 부분공간 프로젝션으로 줄인다.
• 스펙트럼 분해와 같은 비선형, 한 방향 변환을 사용하여 초이-행렬에서 크라우스 표현으로의 변환을 수행하며, 이 과정에서 유니터리 자유도를 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 네트워크를 어떻게 사용하여 개방 양자 시스템 내 완전히 양성 맵의 다양한 표현 간의 통합과 단순화된 변환을 달성할 수 있는가?
• RQ2 텐서 네트워크 기반의 도식적 계산이 핵심 양자정보 지표에 대한 대수적 유도의 더 직관적이고 간결한 대안을 제공할 수 있는가?
• RQ3 이중 상태가 앤실라 보조 과정 톰그래피에 사용 가능한 조건은 무엇이며, 이를 더 단순하게 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 텐서 네트워크 다이어그램과 대칭 부분공간 프로젝터를 사용하여 양자 채널의 평균 게이트 편향을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ5 비선형 변환(예: 스펙트럼 분해)은 일관된 도식적 계산 프레임워크 내에서 얼마나 잘 표현되고 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 도식적 계산 체계를 통해 앤실라 보조 과정 톰그래피에 사용 가능한 이중 상태에 대한 필요 및 충분 조건에 대한 더 단순하고 직관적인 증명이 가능해졌으며, 복구 채널이 더 투명하게 구성된다.
• 순수 상태 평균 ∫|ψ⟩⟨ψ|⊗n을 대칭 부분공간에 대한 프로젝터로 표현함으로써 양자 채널의 평균 게이트 편향이 더 간결하게 도출된다. 이는 텐서 네트워크 형식에서 n!개의 순열 연산자 합으로 표현된다.
• 텐서 네트워크 접근법을 통해 순수 상태의 n중 텐서곱을 포함하는 복잡한 표현을 효율적으로 수축시켜 단일 대칭 부분공간 프로젝션으로 줄일 수 있다.
• 이 프레임워크는 웨이어 벤딩 변환(예: 초이-자미올로프스키 이sovorphism을 통한)이 리우빌-초연산자와 초이-행렬 간 선형적이고 가역적인 사상에 충분함을 입증한다.
• 비선형 변환(예: 초이-행렬에서 크라우스 표현으로의 변환)은 유니터리 자유도로 인해 단방향임을 보이며, 이는 도식적 프레임워크에서 점선 화살표로 표현된다.
• 이 방법은 복합 시스템 초연산자와 감소된 시스템 역학을 다루는 체계적이고 시각적인 방법을 제공하여 더 큰 양자 시스템의 부분 집합에 대한 모듈러적 업데이트를 가능하게 한다.