[논문 리뷰] Tensor networks for non-invertible symmetries in 3+1d and beyond

Pranay Gorantla, Shu-Heng Shao외 1명|arXiv (Cornell University)|2024. 06. 18.

Advanced NMR Techniques and Applications인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 ZX-해석법(ZX-calculus)과 ZX-다이어그램을 사용하여 래티스 모델에서 비가역적 이중성 연산자(Kramers-Wannier in 1+1d, Wegner 이중성 in 3+1d)를 구성하고 분석하며, 이들의 연산자 대수를 도출하고 그래프상의 일반화된 아이징 모델로 확장하여 평행이동과 Lieb-Schultz-Mattis 유형 제약과의 혼합을 드러낸다.

ABSTRACT

Tensor networks provide a natural language for non-invertible symmetries in general Hamiltonian lattice models. We use ZX-diagrams, which are tensor network presentations of quantum circuits, to define a non-invertible operator implementing the Wegner duality in 3+1d lattice $\mathbb{Z}_2$ gauge theory. The non-invertible algebra, which mixes with lattice translations, can be efficiently computed using ZX-calculus. We further deform the $\mathbb{Z}_2$ gauge theory while preserving the duality and find a model with nine exactly degenerate ground states on a torus, consistent with the Lieb-Schultz-Mattis-type constraint imposed by the symmetry. Finally, we provide a ZX-diagram presentation of the non-invertible duality operators (including non-invertible parity/reflection symmetries) of generalized Ising models based on graphs, encompassing the 1+1d Ising model, the three-spin Ising model, the Ashkin-Teller model, and the 2+1d plaquette Ising model. The mixing (or lack thereof) with spatial symmetries is understood from a unifying perspective based on graph theory.

연구 동기 및 목표

• 양자 래티스 시스템에서 그룹 이론적 설명을 넘는 비가역적 대칭의 연구 필요성 제시.
• 1+1d 및 3+1d에서 비가역적 이중성 연산자를 구성하고 조작하기 위한 ZX-해석 기반 텐서 네트워크 프레임워크를 제공.
• 이 연산자들이 공간적 평행이동과 혼합되고 Lieb-Schultz-Mattis 유형 제약을 유도하는 방식 시연.
• 그래프상의 일반화된 TFIM에서 비가역적 이중성 및 파동성 대칭을 포착하기 위해 ZX-다이어그램 형식을 확장.

제안 방법

• 듀얼리티 연산자를 래티스 구성 간 매핑을 인코딩하는 ZX-다이어그램으로 제시(1+1d KW 및 3+1d Wegner 이중성).
• ZX-해석 규칙을 사용해 비가역적 연산자 대수 및 격자 연산자에 대한 작용을 도출.
• Wegner 이중성이 (1,1,1) 방향으로의 격자 평행이동을 포함하며 이를 토릭 코드 기저 상태와 연결시킴.
• 토릭 코드 기저 상태를 생성하는 축합(condenstation) 연산자를 도입.
• duality를 보존하면서 Z2 래티스 게이지 이론을 변형하여 중복된 기저 상태와 LSM-type 제약을 탐색.
• 쌍극 그래프의 이분 그래프에 대한 일반화된 TFIM의 비가역적 이중성을 ZX-다이어그램으로 제시.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역적 이중성 대칭을 텐서 네트워크 프레임워크 내에서 어떻게 표현하고 분석할 수 있는가?
• RQ2 3+1d에서 비가역적 Wegner 이중성 연산자의 대수는 무엇이며 그것이 격자 평행이동과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 그래프상의 일반화된 아이징 모델에 비가역적 이중성 개념을 확장할 수 있는가 그리고 공간 대칭성과의 혼합이 어떤 조건에서 발생하는가?
• RQ4 변형된 모델에서 이러한 비가역적 대칭이 기저 상태의 중복성과 LSM-type 제약에 어떤 함의를 가지는가?
• RQ5 ZX-다이어그램이 이러한 시스템에서 가역적 및 비가역적 파리티/대칭 반사 대칭을 어떻게 특징짓는가?

주요 결과

• 3+1d 격자 Z2 게이지 이론에서의 비가역적 Wegner 이중성 연산자가 원래의 힐베르트 공간에서 ZX-다이어그램으로 구성된다.
• Wegner 이중성 연산 대수는 (1,1,1) 방향으로의 격자 평행이동을 포함하며 1+1d KW 관찰을 일반화한다.
• 축합 연산자가 정의되어 곱 상태를 3+1d 토릭 코드 기저 상태로 매핑하여 이중성과 위상적 순서를 연계한다.
• 도메인이 이중성을 보존하는 Z2 격자 게이지 이론의 변형은 토러스에서 9개의 정확히 중복된 기저 상태를 가지는 모델로 이어지며 LSM-type 제약과 일치한다.
• 비가역적 이중성에 대한 ZX-다이어그램 표현이 bipartite 그래프의 일반화된 TFIM에서 확장되어 이중성 연산자가 공간 대칭과 혼합되는 경우와 그렇지 않은 경우를 밝힌다.
• 이 프레임워크는 1+1d, 3+1d, 그래프 기반 아이징 모형 전반에 걸쳐 비가역적 이중성을 통합하며 비가역적 파리티/반사 대칭을 포함한다.