[논문 리뷰] Tensor product for symmetric monoidal categories

Vincent Schmitt|ArXiv.org|2007. 11. 02.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 소형 대칭 모나드 카테고리, 함자, 모나드 변환으로 이루어진 2-카테고리 SMC 위에 대칭 모나드 닫힘 2-카테고리 구조를 구성한다. 텐서 곱은 유니버설 성질을 통해 정의되며, 몫 SMC/∼는 엄격하게 공명하는 호환성 다이어그램과 2-자연스러운 표준 화살표를 갖는 대칭 모나드 닫힘 구조를 상속함을 보인다.

ABSTRACT

We introduce a tensor product for symmetric monoidal categories with the following properties. Let SMC denote the 2-category with objects small symmetric monoidal categories, arrows symmetric monoidal functors and 2-cells monoidal natural transformations. Our tensor product together with a suitable unit is part of a structure on SMC that is a 2-categorical version of the symmetric monoidal closed categories. This structure is surprisingly simple. In particular the arrows involved in the associativity and symmetry laws for the tensor and in the unit cancellation laws are 2-natural and satisfy coherence axioms which are strictly commuting diagrams. We also show that the category quotient of SMC by the congruence generated by its 2-cells admits a symmetric monoidal closed structure.

연구 동기 및 목표

• 소형 대칭 모나드 카테고리, 함자, 모나드 변환의 2-카테고리 SMC에 대칭 모나드 닫힘 구조를 갖도록 텐서 곱을 정의하는 것.
• 결합, 대칭, 단위 취소에 대한 표준 화살이 2-자연스럽고 엄격하게 공명하는 호환성 다이어그램을 만족하는지 확인하는 것.
• 2-세포에 의해 생성된 동치 관계 ∼에 대한 몫 카테고리 SMC/∼가 원래 2-카테고리로부터 대칭 모나드 닫힘 구조를 상속하는지 보여주는 것.
• 에일렌버그-켈리의 모나드 닫힘 구조를 2-카테고리적 일반화하여 엄격한 호환성과 2-함수적 성질을 갖는 것.

제안 방법

• 생성 그래프와 관계를 사용하여, 소형 대칭 모나드 카테고리 A와 B의 텐서 곱 A ⊗ B를 유니버설 성질을 통해 정의한다.
• SMC(A, [B, C]) → SMC(A ⊗ B, C) 및 SMC(A ⊗ B, C) → SMC(A, [B, C])를 이루는 함자 En: SMC(A, [B, C]) → SMC(A ⊗ B, C)와 Rn: SMC(A ⊗ B, C) → SMC(A, [B, C])를 구성하며, 이들은 Rn ◦ En = 1을 만족하는 모나드 수반 관계를 이룬다.
• 내부 함자 [A, B]가 존재하고, SMC(A, B)에 대칭 모나드 구조를 부여함을 확립한다.
• 이so모르피즘 D: [A, [B, C]] → [B, [A, C]]가 2-자연스럽고 강한 자연성 조건을 만족함을 증명한다.
• 결합, 단위, 대칭에 대한 표준 화살 A′, L′, R′, S′를 도입하며, 이들이 2-자연스럽고 약한 역을 갖는다는 것을 보여준다.
• SMC를 2-세포에 의해 생성된 동치 관계 ∼로 몰아내며, 기호 @를 통해 SMC/∼가 대칭 모나드 닫힘 구조를 상속함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소형 대칭 모나드 카테고리, 함자, 모나드 변환의 2-카테고리 SMC 위에 대칭 모나드 텐서 곱을 정의할 수 있는가?
• RQ2 SMC 내에서의 결합, 대칭, 단위 취소에 대한 표준 화살이 엄격하게 공명하는 호환성 다이어그램을 만족하는 2-자연스러운 가족을 이룬다 할 수 있는가?
• RQ3 2-세포에 의해 생성된 동치 관계 ∼에 대한 몫 카테고리 SMC/∼는 원래 2-카테고리로부터 대칭 모나드 닫힘 구조를 상속하는가?
• RQ4 텐서 곱 A ⊗ B의 유니버설 성질이 SMC(A, [B, C])와 SMC(A ⊗ B, C) 사이의 수반 관계와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 2-함수 π: Cat → Set가 몰입 카테고리 SMC/∼와 그 대칭 모나드 구조를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 텐서 곱 A ⊗ B는 Rn ◦ En = 1을 만족하는 모나드 수반 관계를 유도하는 유니버설 성질을 통해 정의된다.
• 결합, 단위, 대칭에 대한 표준 화살 A′, L′, R′, S′는 2-자연스럽고 엄격하게 공명하는 호환성 다이어그램을 만족한다.
• 카테고리 SMC/∼는 텐서 @, 단위 I, 그리고 구조 화살 A∼, R∼, L∼, S∼를 갖는 대칭 모나드 닫힘 구조를 갖는다.
• 이so모르피즘 D: [A, [B, C]] → [B, [A, C]]는 2-자연스럽고 강한 자연성 조건을 만족하며, 대칭 모나드 구조를 가능하게 한다.
• En과 Rn 사이의 수반 관계는 몰입으로 내림내리며, Rn ◦ En = 1은 SMC/∼ 내에서 이so모르피즘을 유도한다.
• SMC/∼(A@B, C) ∼= SMC/∼(A, [B, C])의 집합은 A, B, C에 대해 자연스럽고, SMC/∼의 닫힘 구조를 확인한다.