[논문 리뷰] Testing Conditional Independence via Quantile Regression Based Partial Copulas

Lasse Petersen, Niels Richard Hansen|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 29.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 26인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 조건부 독립성을 검정하기 위한 비모수적 방법을 제안하며, 분위수 회귀 기반 부분 커플라를 사용하여 조건부 독립을 비모수 잔차에 대한 독립성 검정으로 변환한다. 이 방법은 조건부 이종분산성 하에서 점근적 타당성과 뛰어난 검정력(유의수준과 검정력에 대한 이론적 보장)을 확보하며, 분위수 회귀 추정기의 약한 정규성 조건 하에서도 성립한다.

ABSTRACT

The partial copula provides a method for describing the dependence between two random variables $X$ and $Y$ conditional on a third random vector $Z$ in terms of nonparametric residuals $U_1$ and $U_2$. This paper develops a nonparametric test for conditional independence by combining the partial copula with a quantile regression based method for estimating the nonparametric residuals. We consider a test statistic based on generalized correlation between $U_1$ and $U_2$ and derive its large sample properties under consistency assumptions on the quantile regression procedure. We demonstrate through a simulation study that the resulting test is sound under complicated data generating distributions. Moreover, in the examples considered the test is competitive to other state-of-the-art conditional independence tests in terms of level and power, and it has superior power in cases with conditional variance heterogeneity of $X$ and $Y$ given $Z$.

연구 동기 및 목표

• 약한 분포 가정 하에서 조건부 독립 $X \perp\!\!\! \perp Y \mid Z$ 를 검정할 수 있는 타당한 비모수적 검정을 개발하기 위해.
• 일반적인 절대연속성 하에서 조건부 독립이 검정 불가능하다는 이론적 과제를 해결하기 위해, 분포의 부분집합 $\mathcal{P}_0 \subset \mathcal{P}$ 로 제한한다.
• 부분 커플라 프레임워크를 활용하여 조건부 독립을 변환된 잔차의 주변 독립으로 환원한다.
• 특히 조건부 분산 이종분산성이 존재할 경우, 광범위한 대안 클래스에 대해 올바른 점근적 유의수준과 비자명한 검정력을 유지하는 것을 확보한다.
• 추정된 잔차 기반의 검정통계량의 대표적 성질을 수립하기 위해.

제안 방법

• 분위수 수준 $\tau_k \in [\tau_{\min}, \tau_{\max}]$ 의 격자에서 분위수 회귀를 사용하여 조건부 분포함수 $F_{X|Z}$ 와 $F_{Y|Z}$ 를 추정한다.
• 각 $z$ 에서 분위수 회귀 결과의 선형 보간을 통해 경험적 누적분포함수 추정기 $\hat{F}^{(m,n)}$ 를 구성한다.
• 데이터를 부분 커플라 잔차 $\hat{U}_{1,i} = \hat{F}^{(n)}_{X|Z}(X_i|Z_i)$ 와 $\hat{U}_{2,i} = \hat{F}^{(n)}_{Y|Z}(Y_i|Z_i)$ 로 변환한다.
• 정규성 조건을 만족하는 벡터값 함수 $\varphi$ 를 사용하여 일반화된 상관계수 검정통계량 $\hat{\rho}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varphi(\hat{U}_{1,i}) \varphi(\hat{U}_{2,i})^T$ 를 계산한다.
• 귀무가설 하에서 $\sqrt{n} \hat{\rho}_n$ 의 점근적 정규성과 검정 $T_n$ 의 카이제곱 점근적 분포를 활용하여, 타당한 점근적 유의수준-$\alpha$ 검정을 구성한다.
• 모든 $\mathcal{P}_0$ 에서의 분포에 대해 분위수 회귀 기반 추정기 $\hat{F}^{(m,n)}$ 의 균일한 일致성(consistency)을 확보함으로써, 잔차 변환 과정이 점근적 성질을 유지함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건부 분포 추정기의 약한 정규성 조건 하에서도 올바른 점근적 크기를 유지하는 비모수적 조건부 독립 검정을 구성할 수 있는가?
• RQ2 조건부 이종분산성이 $X$ 와 $Y$ 가 $Z$ 에 조건부로 존재할 경우, 제안된 방법이 기존의 최첨단 방법보다 더 높은 검정력을 가지는가?
• RQ3 부분 커플라 프레임워크를 분위수 회귀와 효과적으로 융합하여 일致성 있고 점근적으로 타당한 검정을 도출할 수 있는가?
• RQ4 추정된 잔차 기반의 일반화된 상관계수 검정통계량의 대표적 성질은 무엇인가?
• RQ5 비자명한 분포 클래스 $\mathcal{P}_0$ 에서 검정이 균일한 점근적 크기와 검정력을 유지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 검정은 클래스 $\mathcal{P}_0$ 에서 귀무가설 $X \perp\!\!\! \perp Y \mid Z$ 를 만족할 경우 점근적 크기 $\alpha$ 를 확보하며, 검정통계량의 분포에 대해 균일한 수렴성을 보인다.
• 시뮬레이션 연구를 통해 조건부 분산 이종분산성이 존재하는 상황에서, 제안된 방법은 최첨단 대안들보다 뛰어난 검정력을 보임을 입증하였다.
• 분위수 회귀 절차의 일치성 가정 하에서, 분위수 회귀 기반 추정기 $\hat{F}^{(m,n)}$ 는 $\|F - \hat{F}^{(m,n)}\|_{\mathcal{T},\infty} = \mathcal{O}_P(g_P(n))$ 를 만족한다.
• 귀무가설 하에서 일반화된 상관계수 검정통계량 $\sqrt{n} \hat{\rho}_n$ 은 정규분포 $\mathcal{N}(0, \Sigma \otimes \Sigma)$ 로 분포 수렴한다.
• 대안에서 $|\rho_{k\ell}| > \lambda > 0$ 를 만족할 경우, 검정통계량 $nT_n$ 은 확률적으로 무한대로 발산하여 점근적 검정력 1을 확보한다.
• 복잡한 데이터 생성 메커니즘 하에서도 시뮬레이션을 통해, 복잡한 조건부 분포가 존재할 경우에도 검정은 올바른 크기와 비자명한 검정력을 유지함을 보였다.