[논문 리뷰] The annihilating-submodule graph of modules over commutative rings

H. Ansari-Toroghy, Shokoufeh Habibi|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 05.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가환환 위의 모듈러에 대한 제거 부분모듈 그래프 $AG(M)$를 도입하고 분석하며, 이 그래프가 완전 그래프이거나 별 모양임을 특성화하고, 색칠 수의 수와 클리크 구조를 연구한다. 주요 기여는 충실한 모듈러 $M$에 대해 $\operatorname{rad}_M(0) = (0)$이면 색칠 수 $\chi(AG(M)^*)$가 유한함과 동시에 $R$가 유한한 최소 소수 이상을 갖는 것과 동치임을 증명하는 것이다. 이 경우 $\chi(AG(M)^*) = \operatorname{cl}(AG(M)^*) = k$이며, $k$는 $R$의 최소 소수 이상의 수이다.

ABSTRACT

Let M be a module over a commutative ring R. In this paper, we continue our study of annihilating-submodule graph AG(M) which was introduced in (The Zariski topology-graph of modules over commutative rings, Comm. Algebra., 42 (2014), 3283{3296). AG(M) is a (undirected) graph in which a nonzero submodule N of M is a vertex if and only if there exists a nonzero proper submodule K of M such that NK = (0), where NK, the product of N and K, is defined by (N : M)(K : M)M and two distinct vertices N and K are adjacent if and only if NK = (0). We obtain useful characterizations for those modules M for which either AG(M) is a complete (or star) graph or every vertex of AG(M) is a prime (or maximal) submodule of M. Moreover, we study coloring of annihilating-submodule graphs.

연구 동기 및 목표

• 색칠 수의 수가 유한한지 여부를 판단하기 위해 $AG(M)$가 완전 그래프 또는 별 그래프가 되는 모듈러 $M$를 특성화하는 것.
• $AG(M)$의 모든 정점이 소수 또는 최대 부분모듈인지 여부를 조사하는 것.
• $AG(M)^*$의 색칠 수와 클리크 구조를 연구하며, 특히 유한성 조건 하에서 분석하는 것.
• 일부 모듈러에 대해 색칠 수의 유한성, 클리크 수, $R$의 최소 소수 이상의 수 사이의 동치관계를 확립하는 것.

제안 방법

• 비자기 부분모듈 $N$이 존재하여 $NK = (0)$이 되는 비자기 부분모듈 $N$을 정점으로 하고, $NL = (0)$이면 간선을 연결하는 방식으로 제거 부분모듈 그래프 $AG(M)$를 정의한다.
• 곱 $NK = (N:M)(K:M)M$을 사용하여 인접성을 정의함으로써, 이는 제거 이상 그래프를 모듈러로 일반화한 것이다.
• $AG(M)^*$를 $M$과 $\operatorname{Ann}(M)$의 안내자를 갖는 부분모듈을 제외한 부분그래프로 정의한다.
• 그래프 이론적 도구를 적용: 색칠 수 $\chi(G)$, 클리크 수 $\operatorname{cl}(G)$, 이분 그래프 및 완전 그래프의 성질.
• 모듈러 이론적 도구를 적용: 소수 및 최대 부분모듈, 근 $\operatorname{rad}_M(N)$, 근이 없는 충실한 모듈러.
• 환 이론적 결과를 활용: 근이 없는 환에서 최소 소수 이상의 유한성 및 $AG(R)$와의 연결

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제거 부분모듈 그래프 $AG(M)$가 완전 그래프 또는 별 그래프가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $AG(M)$의 모든 정점이 소수 또는 최대 부분모듈이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $\chi(AG(M)^*)$가 유한한가?
• RQ4 $\chi(AG(M)^*)$, $\operatorname{cl}(AG(M)^*)$, $R$의 최소 소수 이상의 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $AG(M)^*$가 무한 클리크를 갖지 않는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 충실한 $R$-모듈러 $M$에 대해 $\operatorname{rad}_M(0) = (0)$이면, $\chi(AG(M)^*)$가 유한함과 동시에 $R$가 유한한 최소 소수 이상을 갖는 것과 동치이다.
• 동일한 조건 하에서 $\chi(AG(M)^*) = \operatorname{cl}(AG(M)^*) = k$이며, $k$는 $R$의 최소 소수 이상의 수이다.
• $AG(M)^*$가 무한 클리크를 갖지 않으면, $R$는 유한한 최소 소수 이상을 갖는다.
• 반소수 모듈러 $M$에 대해 $\chi(AG(M)^*)$가 유한함과 $\operatorname{cl}(AG(M)^*)$가 유한함, $AG(M)^*$가 무한 클리크를 갖지 않음이 모두 동치이다.
• $M$이 노에터이면서, $\Upsilon = \{N \in V(AG(M)^*) \mid N^2 = (0)\}$에 속하는 각 $N$에 대해 $\{K < M \mid (N:M)M = (K:M)M\}$가 유한하면, 특정 조건 하에서 $\operatorname{cl}(AG(M)^*)$는 유한하다.
• $M$이 노에터이고 $\Upsilon$가 각 $N \in \Upsilon$에 대해 $\{K < M \mid (N:M)M = (K:M)M\}$가 유한함을 만족하면, 특정 조건 하에서 $\operatorname{cl}(AG(M)^*)$는 유한하다.