[논문 리뷰] The asymptotics of the generalised Bessel function

R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 07.

Electrostatics and Colloid Interactions참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 베ssel 함수 ${}_0\Psi_1(z)$의 큰 $|z|$에 대한 점점 가까운 행동을 일반화된 라이트 함수 ${}_p\Psi_q(z)$의 점점 가까운 이론을 사용하여 유도한다. 특히 $a = -\frac{1}{2}$ 및 $-1 < a < 0$일 때의 지수적으로 작은 기여와 스토크스 현상에 중점을 두며, 라이트의 이전 분석에서 스토크스 불연속성을 고려하지 않은 점을 수정하고, $\arg z$에 따라 정확한 영역 전개를 제공하며 수치적으로 검증한다.

ABSTRACT

We demonstrate how the asymptotics for large $|z|$ of the generalised Bessel function \[{}_0Ψ_1(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{Γ(an+b) n!},\] where $a&gt;-1$ and $b$ is any number (real or complex), may be obtained by exploiting the well-established asymptotic theory of the generalised Wright function ${}_pΨ_q(z)$. A summary of this theory is given and an algorithm for determining the coefficients in the associated exponential expansions is discussed in an appendix. We pay particular attention to the case $a=-1/2$, where the expansion for $z o\pm\infty$ consists of an exponentially small contribution that undergoes a Stokes phenomenon. We also examine the different nature of the asymptotic expansions as a function of $\arg\,z$ when $-1

연구 동기 및 목표

• 일반화된 라이트 함수 ${}_p\Psi_q(z)$의 잘 알려진 점점 가까운 이론을 사용하여 일반화된 베셀 함수 ${}_0\Psi_1(z)$의 점점 가까운 전개를 재표현한다.
• 스토크스 현상을 고려하여 $a = -\frac{1}{2}$인 경우 라이트의 이전 분석에서 지수적으로 작은 기여를 수정한다.
• 스토크스 선 $\arg z = 0$ 및 $\arg z = \pm\pi(1+a)$에서 ${}_1\Psi_0(z)$의 점점 가까운 행동이 변화하는 복소 평면 내 영역을 정밀화한다.
• 부록에 상세히 기술된 바와 같이, ${}_0\Psi_1(z)$의 지수 전개 계수를 계산하는 체계적인 알고리즘을 제공한다.
• 다양한 점점 가까운 영역에서의 정확성을 보장하기 위해 수치 계산을 통해 유도된 전개를 검증한다.

제안 방법

• ${}_0\Psi_1(z)$의 점점 가까운 전개는 일반화된 라이트 함수 ${}_p\Psi_q(z)$를 통해 유도되며, 점점 가까운 행동을 분류하기 위해 $\kappa = 1 + \sum \beta_r - \sum \alpha_r$ 를 사용한다.
• 형식적 합 $E_{p,q}(z) = Z^\vartheta e^Z \sum A_j Z^{-j}$ 를 사용하여 지수적 및 대수적 전개를 구성하며, $Z = \kappa(hz)^{1/\kappa}$ 이고 계수 $A_j$ 는 $g(s)/\Gamma(1+s)$ 의 역계승 전개에서 유도된다.
• 계수 $A_j$ 는 $c_j = C_j - \sum_{k=1}^{j-1} (-1)^k \binom{j-1}{k} c_{j-k} B_k^{(k-j+1)}(\vartheta')$ 를 사용하여 재귀적으로 계산되며, $C_j$ 는 $g(s)/\Gamma(1+s)$ 의 전개에서 유도된다.
• 스토크스 현상은 $\arg z = 0$ 및 $\arg z = \pm\pi(1+a)$ 에서의 점점 가까운 전개의 불연속성을 식별하여 분석한다. 특히 $-1 < a < 0$ 인 경우에 중점을 둔다.
• $a = -\frac{1}{2}$ 인 경우, 초함수적 기하급수 함수 표현을 사용하여 지수적으로 작은 기여를 재평가하며, 원래 라이트 분석에서 놓친 스토크스 불연속성이 존재함을 확인한다.
• 특정 매개변수 값에 대해 전개를 계산하여 수치적 검증을 수행하였으며, Mathematica 를 사용하여 최대 100개의 계수를 계산하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 $|z|$ 에서 ${}_0\Psi_1(z)$ 의 점점 가까운 전개를 일반화된 라이트 함수 이론을 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 왜 라이트의 $a = -\frac{1}{2}$ 인 경우 지수적으로 작은 항에 대한 표현이 잘못되었으며, 스토크스 현상은 그 유효성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 스토크스 선에 의해 ${}_1\Psi_0(z)$ 의 점점 가까운 행동이 변화하는 복소 평면 내 정확한 영역은 무엇인가?
• RQ4 ${}_0\Psi_1(z)$ 의 점점 가까운 전개가 $a > 0$ 과 $-1 < a < 0$ 인 경우에 형식과 수렴성에서 어떻게 다를까?
• RQ5 유도된 계수 알고리즘이 고차항을 신뢰성 있게 계산할 수 있으며, 이는 어떻게 수치적으로 검증되는가?

주요 결과

• ${}_0\Psi_1(z)$ 의 점점 가까운 전개는 $a > 0$ 과 $-1 < a < 0$ 에서 서로 다른 형태로 분리되며, 후자는 $\arg z = 0$ 및 $\arg z = \pm\pi(1+a)$ 에서 스토크스 불연속성을 보인다.
• $a = -\frac{1}{2}$ 인 경우, 원래 분석에서 생략된 스토크스 불연속성을 고려하여 지수적으로 작은 기여가 수정된다.
• ${}_1\Psi_0(z)$ 의 점점 가까운 행동에 대한 영역 경계는 라이트의 1940년 논문보다 더 정밀하게 정밀화되었으며, 특히 $-1 < a < 0$ 영역에서 그렇다.
• 부록의 계수 알고리즘은 $A_j$ 를 최대 100항까지 재귀적으로 계산할 수 있으며, Mathematica 를 통한 수치적 정확도가 확인되었다.
• 수치적 계산을 통해 유도된 전개의 정확성이 검증되었으며, 지수적으로 작은 항과 그 스토크스 전이가 포함되어 있다.
• $\sigma = \frac{1}{2}$ 인 경우, ${}_1\Psi_0(xe^{\pm \pi i \sigma})$ 의 전개가 초함수적 기하급수 함수 표현과 일치함을 보여, 유도된 점점 가까운 형태 (4.18) 이 확인된다.