[논문 리뷰] The Atiyah Patodi Singer signature formula for measured foliations

Paolo Antonini|ArXiv.org|2009. 01. 02.

Structural Health Monitoring Techniques인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 다양체 위의 측도가 부여된 폴리케이션에 대해 Atiyah-Patodi-Singer 서명 공식을 수립한다. 이를 위해 $L^2$-지수 이론을 호로니-불변 가로 측도를 갖는 폴리케이션 공간으로 일반화한다. 이 틀 안에서 해석적, 허드지, 드 라함 서명이 일치함을 증명하여, $ hat{A}$-류와 $ Lambda$-에타 불변량을 포함하는 서명 공식을 도출함으로써 고전적 지수 이론을 비가환 기하학적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $(X_0,\mathcal{F}_0) $ be a compact manifold with boundary endowed with a foliation $\mathcal{F}_0$ which is assumed to be measured and transverse to the boundary. We denote by $Λ$ a holonomy invariant transverse measure on $(X_0,\mathcal{F}_0) $ and by $\mathcal{R}_0$ the equivalence relation of the foliation. Let $(X,\mathcal{F})$ be the corresponding manifold with cylindrical end and extended foliation with equivalence relation $\mathcal{R}$. In the first part of this work we prove a formula for the $L^2$-$Λ$ index of a longitudinal Dirac-type operator $D^{\mathcal{F}}$ on $X$ in the spirit of Alain Connes' non commutative geometry $ind_{L^2,Λ}(D^{\mathcal{F},+}) = + 1/2[η_Λ(D^{\mathcal{F}_\partial}) - h^+_Λ + h^-_Λ].$

연구 동기 및 목표

• 경계를 가진 다변량에 수평적으로 배열된 측도가 부여된 폴리케이션을 갖춘 다양체로 Atiyah-Patodi-Singer 지수 정리의 일반화를 시도한다.
• 그러한 폴리케이션 다변량에 대해 해석적, 허드지, 드 라함 서명이라는 세 가지 개념을 정의하고 비교한다.
• 폴리케이션의 $L^2$-지수 이론의 맥락에서 $ hat{A}$-류와 $ Lambda$-에타 불변량을 포함하는 서명 공식을 수립한다.
• 호로니-불변 가로 측도와 바르노이만 대수를 통해 고전적 서명 이론과 비가환 기하학을 통합한다.

제안 방법

• 경계를 가진 콪팩트 폴리케이션 다변량 $(X_0, \mathcal{F}_0)$ 에서 원통형 끝을 갖는 다변량 $X$ 를 구성하고, 폴리케이션과 동치 관계를 $ mathcal{R}$ 으로 확장한다.
• 호로니-불변 가로 측도 $ Lambda$ 를 기반으로 $L^2$-지수 이론을 적용하여 종방향 디랙 연산자 $D^{\mathcal{F}}$ 의 $L^2$-$\nLambda$-지수를 정의한다.
• 비가환 적분 이론과 브뢰어-프레드홀름 이론을 바르노이만 대수에서 활용하여 폴리케이션 맥락에서의 $L^2$-지수를 다룬다.
• 세 가지 서명을 정의한다: 해석적 서명(서명 연산자의 $L^2$-$\nLambda$-지수를 통해), 허드지 서명(조화 형식을 통해), 드 라함 서명(상대 드 라함 코homology를 통해)을 엽서 복합체에서 정의한다.
• 스펙트럼 밀도 함수와 $L^2$-코homology에서의 약한 정확한 수열 이론을 사용하여 이 세 서명이 동일함을 증명한다.
• 주요 서명 공식 유도: $\sigma_{\nLambda,\text{dR}}(X,\partial X_0) = \langle L(T\mathcal{F}_0), C_\nLambda \rangle + \frac{1}{2} \eta_\nLambda(D^{\mathcal{F}_\partial})$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도가 부여된 폴리케이션을 갖는 경계를 가진 다양체로 Atiyah-Patodi-Singer 지수 정리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 측도가 부여된 폴리케이션의 $L^2$-지수 이론 맥락에서 해석적, 허드지, 드 라함 서명이 일치하는가?
• RQ3 폴리케이션 다변량의 경계를 고려할 때 $ Lambda$-에타 불변량은 서명 공식에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 특히 바르노이만 대수와 가로 측도를 통해 비가환 기하학은 폴리케이션 맥락에서 $L^2$-서명을 정의하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 폴리케이션 다변량의 경계에서 해석적, 허드지, 드 라함 서명은 동일하다: $\sigma_{\nLambda,\text{an}}(X,\partial X_0) = \sigma_{\nLambda,\text{Hodge}}(X,\partial X_0) = \sigma_{\nLambda,\text{dR}}(X,\partial X_0)$.
• 종방향 디랙 연산자 $D^{\mathcal{F},+}$ 의 $L^2$-$\nLambda$-지수는 $\operatorname{ind}_{L^2,\nLambda}(D^{\mathcal{F},+}) = \langle \hat{A}(T\mathcal{F})\operatorname{Ch}(E/S), C_\nLambda \rangle + \frac{1}{2}[\eta_\nLambda(D^{\mathcal{F}_\partial}) - h^+_{\nLambda} + h^-_{\nLambda}]$ 로 주어진다.
• 주요 서명 공식은 $\sigma_{\nLambda,\text{dR}}(X,\partial X_0) = \langle L(T\mathcal{F}_0), C_\nLambda \rangle + \frac{1}{2}\eta_\nLambda(D^{\mathcal{F}_\partial})$ 로, 고전적 Atiyah-Patodi-Singer 공식을 일반화한다.
• $\nLambda$-에타 불변량 $\eta_\nLambda(D^{\mathcal{F}_\partial})$ 는 경계 기여를 보정하기 위해 서명 공식에서 중심적인 역할을 한다.
• 서명의 동치성은 스펙트럼 밀도 함수와 $L^2$-코homology에서의 약한 정확한 수열 이론을 통해 확립된다.
• 이 틀은 콘네스의 비가환 기하학과 가로 측도를 활용하여 아티야의 $L^2$-서명 정리가 폴리케이션 공간으로 확장됨을 보여준다.