[论文解读] The birational geometry of irregular Higgs bundles

Szilárd Szabó|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文在通过逐次爆破构造的族规则曲面族上，建立了具有半单不规则部分的稳定不规则 Higgs 纤维丛模空间与相对 Picard 纤维丛之间的泊松同构。该工作将 Beauville–Narasimhan–Ramanan 对应关系推广至不规则抛物设置，表明光滑谱曲线对应于爆破构造中的光滑曲线族，且双方的泊松结构相容。

ABSTRACT

We give a variant of the Beauville--Narasimhan--Ramanan correspondence for irregular parabolic Higgs bundles with semi-simple irregular part and show that it defines a Poisson isomorphism between certain irregular Dolbeault moduli spaces of a curve and relative Picard bundles of families of ruled surfaces over a curve.

研究动机与目标

• 将 Beauville–Narasimhan–Ramanan 对应关系推广至具有半单不规则部分的不规则抛物 Higgs 纤维丛。
• 通过逐次爆破解决不规则奇点处非约 0-维子概形带来的几何挑战。
• 在稳定不规则 Higgs 纤维丛模空间与一族规则曲面上挠自由层的相对 Picard 纤维丛之间建立泊松同构。
• 验证该同构在谱曲线光滑的余密开子集上成立。
• 确认该对应关系尊重双方的自然泊松结构，与 Kontsevich 和 Soibelman 的猜想 8.6.1(1) 在半单情形下一致。

提出的方法

• 通过在不规则奇点处的非约 0-维子概形上进行逐次爆破，构造一族规则曲面 $\widetilde{\mathcal{Z}} \to \mathbb{C}^{r\sum_i (m_i+1)}$。
• 在 $\widetilde{\mathcal{Z}}$ 中的曲线上定义谱数据为秩 1 的挠自由层，其次数为 $d = \delta + \frac{r(r-1)}{2}\deg(L)$，其中 $L = K_C(D)$。
• 利用 $\widetilde{\mathcal{Z}}$ 中曲线的相对希尔伯特概形来参数化谱曲线，并在 $D_{\operatorname{red}}$ 上施加光滑性条件。
• 通过从谱曲线族的余切丛的上推，赋予相对 Picard 纤维丛一个泊松二阶张量场 $\Pi_{\operatorname{Pic}}$。
• 证明相对 Picard 纤维丛上的泊松结构通过谱对应拉回到 Dolbeault 模空间。
• 验证在谱曲线光滑且在 $D_{\operatorname{red}}$ 上无分支的余密开子集上，稳定 Higgs 纤维丛模空间与相对 Picard 纤维丛之间的同构为泊松同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Beauville–Narasimhan–Ramanan 对应关系能否推广至具有半单不规则部分的不规则抛物 Higgs 纤维丛？
• RQ2 如何修改谱对应关系以适应不规则奇点处的非约 0-维子概形？
• RQ3 由此产生的对应关系是否在不规则 Higgs 纤维丛模空间与挠自由层的相对 Picard 纤维丛之间诱导出泊松同构？
• RQ4 谱曲线的光滑性与爆破构造的几何之间存在何种精确关系？
• RQ5 在谱对应下，不规则 Higgs 纤维丛模空间上的泊松结构是否与相对 Picard 纤维丛上的泊松结构同构？

主要发现

• 本文构造了具有半单不规则部分的稳定不规则 Higgs 纤维丛模空间与通过逐次爆破得到的一族规则曲面上挠自由层的相对 Picard 纤维丛之间的泊松同构。
• 该同构在谱曲线在 $D_{\operatorname{red}}$ 上光滑且无分支的余密开子集上成立。
• 谱曲线上线丛的次数 $d$ 由 $d = \delta + \frac{r(r-1)}{2}\deg(L)$ 给出，其中 $L = K_C(D)$，$\delta$ 见注记 5.1。
• 在谱曲线为整数的假设下，该对应关系是范畴等价，将 BNR 对应关系推广至不规则抛物情形。
• 双方的泊松结构相容：Dolbeault 侧的辛叶层通过谱构造对应于 Picard 侧的辛叶层。
• 该结果在半单情形下证实了 Kontsevich 和 Soibelman 工作中猜想 8.6.1 的第 1) 部分，为该对应关系提供了完整的几何实现。