[논문 리뷰] The C*-algebra of a Hilbert Bimodule

Sergio Doplicher, Claudia Pinzari외 1명|ArXiv.org|1997. 07. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 C*-대수 $\mathcal{A}$ 위의 힐버트 이중모듈러 $X$ 에서 유일한 $C^*$-대수 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 를 구성하며, Pimsner의 $C^*(X)$ 구성법을 일반화한다. $X$ 가 전부이고 유한 차수 프로젝티브이며, Connes 스펙트럼이 전체 원주 $\mathbb{T}$ 라면, $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 나 $C^*(X)$ 가 단순하거나 소수임을 보장하는 조건을 설정한다. 이는 Cuntz-Krieger 대수와 교차곱 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We regard a right Hilbert C*-module X over a C*-algebra A endowed with an isometric *-homomorphism ϕ: A o L_A(X) as an object X_A of the C*-category of right Hilbert A-modules. Following a construction by the first author and Roberts, we associate to it a C*-algebra O_{X_A} containing X as a ``Hilbert A-bimodule in O_{X_A}''. If X is full and finite projective O_{X_A} is the C*-algebra C*(X), the generalization of the Cuntz-Krieger algebras introduced by Pimsner. More generally, C*(X) is canonically embedded in O_{X_A} as the C*-subalgebra generated by X. Conversely, if X is full, O_{X_A} is canonically embedded in the bidual of C*(X). Moreover, regarding X as an object A_X_A of the C*-category of Hilbert A-bimodules, we associate to it a C*-subalgebra O_{A_X_A} of O_{X_A} commuting with A, on which X induces a canonical endomorphism ρ. We discuss conditions under which A and O_{A_X_A} are the relative commutant of each other and X is precisely the subspace of intertwiners in O_{X_A} between the identity and ρon O_{A_X_A}. We also discuss conditions which imply the simplicity of C*(X) or of O_{X_A}; in particular, if X is finite projective and full, C*(X) will be simple if A is X-simple and the ``Connes spectrum'' of X is the circle.

연구 동기 및 목표

• 임의의 C*-대수 위에서 Cuntz-Krieger 대수의 구성법을 힐버트 이중모듈러로 일반화하기.
• 대수 $X$ 를 포함하고 $X$ 가 유도하는 내부자기사상의 구조를 반영하는 $C^*$-대수 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 를 정의하기.
• $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 나 관련된 $C^*(X)$ 가 단순하거나 소수임을 보장하는 조건을 규명하기, 특히 Connes 스펙트럼 $\Gamma(X)$ 나 $\hat{\Gamma}(X)$ 를 사용하여 분석하기.

제안 방법

• 우측 힐버트 $\mathcal{A}$-모듈러 $X$ 와 단위를 갖는 $*$-준동형사상 $\phi: \mathcal{A} \to \mathcal{L}_{\mathcal{A}}(X)$ 를 정의하여 $X$ 가 힐버트 $\mathcal{A}$-이중모듈러가 되도록 하기.
• Pimsner의 구성법을 일반화하기 위해, $X$ 를 엄격한 준곱셉 $C^*$-분류 $\mathcal{S}_X$ 내의 대상으로 간주하여 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 를 구성하기.
• $C^*(X)$ 를 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 내의 $X$ 에 의해 생성되는 $C^*$-부분대수로 정의하고, $X$ 가 전부이고 유한 차수 프로젝티브일 경우 등식이 성립함을 보이기.
• $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ 를 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 의 $\mathcal{A}$ 와 교환하는 $C^*$-부분대수로 정의하고, 상대적 중심화자 $\mathcal{A}' \cap \mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 와의 관계를 규명하기.
• Connes 스펙트럼 $\Gamma(X)$ 와 $\hat{\Gamma}(X)$ 를 사용하여 $\mathbb{T}$-불변 이상수를 분석하고 단순성 조건을 도출하기.
• 교차곱 이론과 $\mathbb{T}$-작용의 결과를 적용하여 $\Gamma(X) = \mathbb{T}$ 이고 $X$-단순성인 $\mathcal{A}$ 라면 $C^*(X)$ 나 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 가 단순함을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 이중모듈러 $X$ 와 관련된 $C^*$-대수 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 가 단순해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 대수 $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ 에서의 표준적 내부자기사상이 $\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ 사이의 쌍대성을 유도하는가?
• RQ3 Connes 스펙트럼 $\Gamma(X)$ 나 $\hat{\Gamma}(X)$ 는 $C^*(X)$ 나 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 의 소수성 또는 단순성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ 가 상대적 중심화자 $\mathcal{A}' \cap \mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 $C^*(X)$ 가 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 와 일치하는 경우는 언제이며, 언제 단순해지는가?

주요 결과

• 만약 $X$ 가 전부이고 유한 차수 프로젝티브이면, $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 는 일반화된 Cuntz-Krieger 대수인 $C^*(X)$ 와 일치한다.
• 만약 $X$ 가 전부이고 $\mathcal{A}$ 가 $X$-단순하며 $\Gamma(X) = \mathbb{T}$ 이면, $C^*(X)$ 는 단순하다.
• 만약 $X$ 가 전부이고 $\hat{\Gamma}(X) = \mathbb{T}$ 이면, $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 는 단순하다.
• $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ 는 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ 에 자연스럽게 매장되며 $\mathcal{A}$ 와 교환되며, 추가 조건이 만족되면 상대적 중심화자와 일치한다.
• 만약 $X$ 가 전부이고 $\mathcal{A}$ 가 $X$-소수이며 $\Gamma(X) = \mathbb{T}$ 이면, $C^*(X)$ 는 소수이다.
• Connes 스펙트럼 $\Gamma(X) = \mathbb{T}$ 는 $\mathcal{A}$ 가 $X$-단순이고 $X$ 가 전부이며 유한 차수 프로젝티브일 경우 $C^*(X)$ 가 $\mathbb{T}$-단순이 되기 위한 필요충분조건이다.