[논문 리뷰] The Casimir Energy in Curved Space and its Supersymmetric Counterpart

Benjamin Assel, Davide Cassani외 4명|Research Portal (King's College London)|2015. 03. 18.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 4인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 곡면 배경에서의 conformal field theory(CFT)에서의 카시미르 에너지를 조사하며, 특히 $S^{d-1} \times \mathbb{R}$에서 $d=4$일 때 표준 카시미르 에너지가 규격에 의존하고 고유한 성질을 가지지 못함을 보여준다. 그러나 $\mathcal{N}=1$ 초대칭 CFT의 경우 초대칭 카시미르 에너지가 규격에 무관하고 고유한 성질을 가지며, 둥근 세포구면에서 $a + 3c$에 비례하는 값을 가짐을 확인하였다. 이는 초대칭 양자역학으로의 차원 감소와 히알로지컬 검증을 통해 확인되었다.

ABSTRACT

We study $d$-dimensional Conformal Field Theories (CFTs) on the cylinder, $S^{d-1} imes \mathbb{R}$, and its deformations. In $d=2$ the Casimir energy (i.e. the vacuum energy) is universal and is related to the central charge $c$. In $d=4$ the vacuum energy depends on the regularization scheme and has no intrinsic value. We show that this property extends to infinitesimally deformed cylinders and support this conclusion with a holographic check. However, for $\mathcal{N}=1$ supersymmetric CFTs, a natural analog of the Casimir energy turns out to be scheme independent and thus intrinsic. We give two proofs of this result. We compute the Casimir energy for such theories by reducing to a problem in supersymmetric quantum mechanics. For the round cylinder the vacuum energy is proportional to $a+3c$. We also compute the dependence of the Casimir energy on the squashing parameter of the cylinder. Finally, we revisit the problem of supersymmetric regularization of the path integral on Hopf surfaces.

연구 동기 및 목표

• $S^{d-1} \times \mathbb{R}$에서의 카시미르 에너지가 CFT에서 고유하고 규격에 무관한 관측 가능량인지 여부를 규명하는 것.
• $d=4$에서의 카시미르 에너지에 대한 모순을 해결하는 것 — 이는 다수의 무차원 보정항으로 인해 정규화에 의존하기 때문이다.
• $\mathcal{N}=1$ CFT에서 규격에 무관하고 고유한 성질을 가지는 카시미르 에너지의 초대칭 유사체를 정의하고 계산하는 것.
• 차원 감소를 통한 초대칭 양자역학과 히알로지컬 검증을 통해 결과를 확인하는 것.
• Hopf 표면에서 경로적분의 초대칭 정규화를 일관된 보정항을 사용하여 재검토하는 것.

제안 방법

• $S^{d-1} \times \mathbb{R}$에서의 진공 에너지 $E_0 = \int_{S^{d-1}} d^{d-1}x \sqrt{g} \langle T_{\tau\tau} \rangle$로 카시미르 에너지를 정의하는 것.
• 반경 방향 양자화를 사용하여 $\mathbb{R}^d$ 위의 CFT를 ц린더로 매핑함으로써 진공 에너지 분석을 가능하게 하는 것.
• 4차원 카이랄 다중체를 1차원 초대칭 양자역학 체계로 차원 감소시켜 스펙트럼과 에너지를 계산하는 것.
• 두 단계 정규화와 부드러운 함수를 사용한 절단 정규화를 사용한 두 가지 정규화 체계를 적용하는 것.
• Euler-Maclaurin 공식을 사용하여 칼루차-클라인 모드에 대한 정규화된 합을 전개하고 유한 및 발산 부분을 추출하는 것.
• 데포머드 시린더에서의 선형화된 히알로지컬 카시미르 에너지와 장 이론 결과를 비교함으로써 히알로지컬 검증을 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 CFT에서 $S^3 \times \mathbb{R}$에서의 카시미르 에너지는 고유하고 규격에 무관한 관측 가능량인가?
• RQ2 규격에 무관한 성질을 가지는 초대칭 카시미르 에너지의 유사체를 정의할 수 있는가?
• RQ3 둥근 $S^3 \times \mathbb{R}$에서의 초대칭 카시미르 에너지의 값은 얼마이며, 이는 납작함 매개변수에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 차원 감소된 초대칭 양자역학과 $S^3 \times S^1$에서의 1-loop 행렬식은 카시미르 에너지에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 Hopf 표면에서 경로적분의 발산을 제거할 수 있는 일관된 초대칭 보정항을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• $d=4$에서 표준 카시미르 에너지는 $R^2$ 보정항으로 인해 규격에 의존하여 고유한 성질을 가지지 못하며, $E_0 \propto a - b/2$의 형태로 모순을 일으킨다.
• $\mathcal{N}=1$ 초대칭 CFT의 경우 초대칭 카시미르 에너지 $E_{\rm susy}$는 규격에 무관하고 고유한 성질을 가지며, 둥근 세포구면에서 $a + 3c$에 비례하는 값을 가진다.
• 납작한 $S^3 \times \mathbb{R}$에서의 초대칭 카시미르 에너지는 납작함 매개변수에 따라 계산되었으며, 규격에 무관한 성질을 유지함을 보였다.
• 4차원 카이랄 다중체를 1차원 초대칭 양자역학으로 차원 감소시켜, 해밀토니언 스펙트럼이 에너지를 결정함을 확인함으로써 결과를 확인하였다.
• 히알로지컬 검증을 통해 세포구면의 무한소 변형에 대한 카시미르 에너지의 선형 반응이 확인되었으며, 이는 $E_{\rm susy}$의 규격에 무관함을 지지한다.
• 절단 정규화에서 발생하는 발산 항은 새로운 최소 초대칭 중력 이론에서 차수 2의 초대칭 보정항에 의해 제거되었으며, $S^3 \times S^1$ 배경 작용과 일관된다.