[논문 리뷰] The Chebyshev method for the implied volatility

Kathrin Glau, Paul Herold외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모든 관련 옵션 만기성 및 변동성 수준에서 빠르고 정확하며 폐쇄형으로 이면 변동성(Implied Volatility)을 근사화하기 위한 이변량 체비셰프 다항식 보간법을 제안한다. 이 방법은 초지수적 오차 감쇠를 달성하여 저차수 다항식으로도 기계 정밀도 수준의 정확도를 확보하며, 대규모 실시간 응용 프로그램에서 반복적이고 기존의 비반복적 방법보다 빠르고 견고하다.

ABSTRACT

The implied volatility is a crucial element of any financial toolbox, since it is used for quoting and the hedging of options as well as for model calibration. In contrast to the Black-Scholes formula its inverse, the implied volatility, is not explicitly available and numerical approximation is required. We propose a bivariate interpolation of the implied volatility surface based on Chebyshev polynomials. This yields a closed-form approximation of the implied volatility, which is easy to implement and to maintain. We prove a subexponential error decay. This allows us to obtain an accuracy close to machine precision with polynomials of a low degree. We compare the performance of the method in terms of runtime and accuracy to the most common reference methods. In contrast to existing interpolation methods, the proposed method is able to compute the implied volatility for all relevant option data. In this context, numerical experiments confirm a considerable increase in efficiency, especially for large data sets.

연구 동기 및 목표

• 딥 인 더 머니, 아웃 오브 더 머니, 극단적 변동성 제도를 포함한 모든 관련 옵션 데이터에서 이면 변동성을 빠르고 정확하며 견고하게 계산하는 방법을 개발하기 위해.
• 반복적 방법의 한계—느린 수렴과 초기 추정치에 대한 민감성—을 극복하기 위해 비반복적이고 폐쇄형 근사법을 제공하기 위해.
• 고빈도 거래 및 모델 캘리브레이션에 사용되는 대규모 데이터 세트에서 실시간으로 이면 변동성을 빠르게 평가할 수 있도록 하기 위해.
• 이 방법이 쉽게 구현하고 유지보수할 수 있으며, 기울기 기반 최적화를 위한 도함수 계산을 지원하기 위해.
• 체비셰프 보간 프레임워크를 적응시켜 블랙-숄즈 모델 이외의 모델, 예를 들어 라플라스 모델과 같은 비블랙-숄즈 모델로의 적용 가능성을 넓히기 위해.

제안 방법

• 모든 관련 만기성과 나머지 수명 조합을 포함하는 도메인에서 이변량 체비셰프 다항식 보간을 사용하여 옵션 데이터의 전역적 커버리지 보장.
• 극단적 매개변수 영역을 다루기 위해 도메인 분할과 스케일링 함수를 활용하여 보간 정확도와 수렴성을 향상.
• 정규화된 콜 프리미엄과 만기성에 대한 체비셰프 기저 함수의 곱의 합으로 구성된 근사식을 통해 폐쇄형 평가 및 도함수 계산 가능.
• 사전 계산된 오프라인 보간 연산자를 사용하여 온라인 평가를 빠르게 하여 런타임 오버헤드 최소화.
• 정확도 확보를 위해 체비셰프 보간의 초지수적 오차 감쇠 성질을 활용하여 저차수 다항식으로도 고정밀도 달성.
• 블랙-숄즈 모델과 라플라스 모델 양쪽에서 검증되었으며, 보간 노드에서 기준 이면 변동성 계산을 위해 브렌트-데커 방법 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비반복적이고 폐쇄형 방법이 극단적 만기성 및 변동성 수준을 포함한 전체 이면 변동성 표면에서 높은 정확도와 효율성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 체비셰프 보간의 오차 행동은 다항식 차수에 따라 어떻게 변화하며, 저차수 다항식으로도 기계 정밀도 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 대규모 데이터 세트에서 Jäckel(2015)의 반복적 솔버와 비교해 볼 때 런타임과 견고성 측면에서 성능이 뛰어나게 되는가?
• RQ4 근사의 다항식 구조가 최적화 및 헤징 응용 프로그램을 위한 효율적 도함수 계산을 얼마나 잘 지원하는가?
• RQ5 라플라스 모델과 같은 비블랙-숄즈 모델로의 일반화 및 적응이 가능하며, 유사한 성능과 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 체비셰프 방법은 다항식 차수 증가에 따라 지수적 오차 감쇠를 보이며, 라플라스 모델에서 2차원 체비셰프 격자에서 N=50일 때 오차가 10^-11 이하로 떨어진다.
• 이 방법은 깊이 인 더 머니 및 멀리 아웃 오브 더 머니 옵션을 포함한 모든 옵션 유형에서 높은 정확도를 유지하며, 많은 기존 방법이 어려워하는 영역에서도 성능을 유지를 한다.
• 공통 도메인 D₁에서 체비셰프 방법은 다른 비반복적 근사법보다 유의미하게 높은 정확도를 달성하며, 유사하거나 더 나은 런타임 성능 확보.
• Jäckel(2015)의 반복적 방법과 비교해 체비셰프 방법은 사전에 목표 정밀도를 지정하고 반복을 피하기 때문에 런타임을 크게 줄였다.
• 폐쇄형 다항식 구조 덕분에 이면 변동성 재평가 없이도 효율적인 도함수 계산이 가능하여 기울기 기반 최적화 지원.
• 이 방법은 매우 유연하게 응용 가능: 도메인 분할 및 스케일링 함수를 수정함으로써 더 작은 특정 데이터 도메인에 맞게 조정 가능하며, 이는 추가로 효율성 향상 가능.