[논문 리뷰] The cobordism category and Waldhausen's K-theory

Marcel Bökstedt, Ib Madsen|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 추상적 횡단성과 그로모프의 h-원리(의원)를 사용하여, $I^k \times \mathbb{R}^{d+n-k}$ 내에 임bed된 $d$차원 cobordism의 $k$-중 카테고리의 분류 공간과 $G(d,n)$ 위의 $n$-평면의 기본 $n$-평면 번들의 Thom 공간의 $\Omega^{d+n-k}$-번째 루프 공간 사이의 호모토피 동치를 확립한다. 이 결과는 $MTO(d)$의 $\Omega$-스펙트럼을 cobordism 카테고리와 관련된 무한 루프 공간으로 실현하고, Waldhausen의 $A$-이론 $BO(d)$로 향하는 무한 루프 맵을 구성한다.

ABSTRACT

This paper examines the category C^k_{d,n} whose morphisms are d-dimensional smooth manifolds that are properly embedded in the product of a k-dimensional cube with an (d+n-k)-dimensional Euclidean space. There are k directions to compose k-dimensional cubes, so C^k_{d,n} is a (strict) k-tuple category. The geometric realization of the k-dimensional multi-nerve is the classifying space BC^k_{d,n}. At the end of the paper we construct an infinite loop map to Waldhausens K-theory. ΩBC^1_{d,n}-> A(BO(d)), We believe that the map factors through Ω^\inftyΣ^\infty(BO(d)_+) and that the composite B{Diff}(M^d) o A(BO(d)) is homotopic to the map considered by Dwyer, Williams and Weiss.

연구 동기 및 목표

• 임베딩된 $d$-다양체의 $k$-중 카테고리의 분류 공간과 한정된 $d$-다양체의 $k$-중 카테고리의 분류 공간과 한정된 $d$-다양체의 $k$-중 카테고리의 분류 공간 사이의 호모토피 동치를 확립한다.
• 무한대 $n \to \infty$에서 $\Omega$-스펙트럼 $MTO(d)$를 cobordism 카테고리와 관련된 무한 루프 공간으로 기하학적으로 실현한다.
• Waldhausen의 $A$-이론 $BO(d)$로 향하는 무한 루프 맵을 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n}$에서 구성한다. 이 맵은 문헌에 알려진 맵들과 호환된다.
• 공간 $\mathbb{R}^{d+n}$ 내에 임베딩된 다수의 $d$-다양체의 공간의 메트릭성(메트릭성)을 증명하여, 이는 증명에서 호모토피 이론적 도구의 사용을 가능하게 한다.

제안 방법

• 비틀림 쌍 $(X,Z)$에 관련된 컷 집합의 단체 공간 $K_\bullet(X,Z)$를 도입한다. 여기서 $Z \subset X \times \mathbb{R}^k$는 횡단성의 부족한 방향의 닫힌 집합이다.
• 측도 이론적 횡단성 조건 하에서, 추상적 횡단성 정리들을 사용하여 $|K_\bullet(X,Z)| \xrightarrow{\sim} X$ 가 호모토피 동치임을 증명한다.
• 이를 $D^k_{d,n} \subset \Psi_d(\mathbb{R}^{d+n})$ 공간에 적용한다. 여기서 $D^k_{d,n}$는 $\mathbb{R}^k$로의 적절한 투영을 갖는 적절하게 임베딩된 $d$-다양체의 공간이며, $Z^k_{d,n}$는 좌표 초평면에 대한 비횡단성 조건을 나타낸다.
• 그로모프의 일반적 $h$-원리를 적용하여 $D^k_{d,n} \simeq \Omega^{d+n-k} \mathrm{Th}(U^\perp_{d,n})$임을 보여, 주요 호모토피 동치를 확립한다.
• 그라스만만의 $S_\bullet$-구성에 대한 코브อร督办의 단일 복합체의 특수화된 신뢰성 구조에서 유도된 다중 단체 맵 $\tau^k$를 구성한다. 이는 무한 루프 구조를 실현한다.
• 결과적으로 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n} \to A(BO(d))$ 맵이 $n = \infty$일 때 무한 루프 맵임을 보이며, $A$-이론에서 알려진 구성들과 호환됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임베딩된 $I^k \times \mathbb{R}^{d+n-k}$ 내의 $d$-차원 $k$-중 카테고리의 $d$-cobordism의 분류 공간 $B{\cal C}^k_{d,n}$의 호모토피 유형은 무엇인가요?
• RQ2 측도 이론적 횡단성 조건을 통해, $\mathbb{R}^{d+n}$ 내에 적절하게 임베딩된 $d$-다양체의 공간이 $\mathbb{R}^k$로의 적절한 투영을 갖는다면, 이 공간이 추상적 횡단성을 통해 Thom 공간과 호모토피 동치가 될 수 있나요?
• RQ3 cobordism 카테고리와 Waldhausen의 $A$-이론 $BO(d)$ 사이의 관계는 무엇이며, 그 분류 공간에서 무한 루프 맵을 구성할 수 있나요?
• RQ4 메트릭성은 임베딩된 다류체의 위상수학에서 어떤 역할을 하며, 이는 호모토피 이론적 추론을 어떻게 지원합니까?
• RQ5 맵 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n} \to A(BO(d))$는 무한 루프 맵이며, $\Omega^\infty \Sigma^\infty (BO(d)_+)$를 통해 인수화되는가요?

주요 결과

• 분류 공간 $B{\cal C}^k_{d,n}$는 $G(d,n)$ 위의 $n$-차원 기본 $n$-평면 번들의 $U^\perp_{d,n}$의 $\Omega^{d+n-k}$-번째 루프 공간 $\Omega^{d+n-k} \mathrm{Th}(U^\perp_{d,n})$와 호모토피 동치이다. 이는 정확한 호모토피 이론적 기술을 제공한다.
• $\mathbb{R}^k$로의 적절한 투영을 갖는 적절하게 임베딩된 $d$-다양체의 공간 $D^k_{d,n}$는 단체 공간 구성 $K_\bullet(D^k_{d,n}, Z^k_{d,n})$를 통해 $B{\cal C}^k_{d,n}$와 호모토피 동치이다.
• 무한 루프 공간 $MTO(d)$는 스펙트럼 $\{B{\cal C}^k_{d,\infty}\}_{k=1}^\infty$로 실현되며, 이는 $MTO(d)$ 스펙트럼의 기하학적 모델을 제공한다.
• $n = \infty$일 때 맵 $\Omega B{\cal C}^1_{d,n} \to A(BO(d))$는 무한 루프 맵이며, $\Omega^\infty \Sigma^\infty (BO(d)_+)$를 통해 인수화될 것으로 추측된다.
• $\tau^k$ 맵의 구성은 코브อร督办의 단일 복합체의 다중 단체적 구조와 그라스만만의 $S_\bullet$-구성에 기반하여 이루어지며, 이는 무한 루프 구조의 확인을 가능하게 한다.
• $\Psi_d(\mathbb{R}^{d+n})$와 $D^k_{d,n}$의 메트릭성은 §4에서 증명되었으며, 이는 추상적 횡단성 정리와 같은 호모토피 이론적 도구의 사용을 가능하게 한다.