[논문 리뷰] The Cohomology of the Ordinals I: Basic Theory and Consistency Results

Jeffrey Bergfalk, Chris Lambie‐Hanson|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 07.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순서수 위의 무한 체계적 조합론을 통합하는 프레임워크로 체흐 코homology를 제안하며, 고차원 코homology 군이 토도르체비치의 산책과 일관된 수열을 일반화함을 보여준다. 이는 순서수 위에서 비자명한 코호몰로지 군이 큰 기수와 모순되지만, 구조적 체계 L에서 최대로 존재함을 입증하며, 이를 계급화된 비콤팩트성 원리로 위치지운다.

ABSTRACT

In this paper, the first in a projected two-part series, we describe an organizing framework for the study of infinitary combinatorics. This framework is Čech cohomology. We show in particular that the Čech cohomology groups of the ordinals articulate higher-dimensional generalizations of Todorcevic's walks and coherent sequences techniques, and begin to account for those techniques' `unreasonable effectiveness' on $ω_1$. This discussion occupies the first half of our paper and is written with a general mathematical audience in mind. We turn in the paper's second half to more properly set-theoretic considerations. We describe a number of consistency results on the cohomology groups of the ordinals which certify their status as a graded family of incompactness principles. We show in particular that nontrivial cohomology groups on the ordinals are in some tension with large cardinals, and are maximally extant in Gödel's model $\mathrm{L}$. We describe forcings to add, then trivialize, nontrivial $n$-cocycles, and conclude with some comparison of these principles with those benchmark incompactness phenomena, the existence of square sequences and failures of stationary reflection.

연구 동기 및 목표

• 순서수 위의 고차원 조합론적 현상에 대한 코homological 프레임워크를 개발하기 위해.
• 체흐 코호몰로지 군이 순서수 위에서 토도르체비치의 산책과 일관된 수열의 효과를 일반화하고 설명함을 보여주기 위해.
• 비자명한 코호몰로지 군의 일致성 강도를 분석하며, 특히 큰 기수 가정 하에서의 행동을 다루기 위해.
• 비자명한 코호몰로지가 구조적 체계 L에서 최대로 존재함을 보여주고, 강한 콤팩트성 또는 약한 콤팩트성 하에서 사라짐을 입증하기 위해.
• 코호몰로지적 비콤팩트성 원리와 전통적인 원리들(예: 스퀘어 수열과 정지 반사의 실패)을 비교하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 층 A_d를 사용한 체흐 코호몰로지로, 일관성과 산책의 고차원 일반화를 형식화하기 위해.
• 순서수 위의 n-일관성 가족을 정의하고, 이것이 정확히 비자명한 체흐 코호몰로지 군 Ȟⁿ(ξ, A_d)과 대응됨을 보여주기 위해.
• 강제법 기법을 사용하여 비자명한 n-코사이클을 추가하고, 이를 제거함으로써 코호몰로지가 사라지거나 유지되는 모델을 구성하기 위해.
• 강한 콤팩트 기수의 레비 붕괴를 사용하여, 정칙 λ > ωₙ에 대해 Ȟⁿ(λ)의 소멸을 강제하기 위해.
• P-이데알 이분법을 사용하여, 정칙 λ > ω₁에 대해 Ȟ¹(λ)의 소멸을 강제하기 위해.
• 강제 확장 하에서 코호몰로지의 행동을 분석하며, 특히 cofinality 제약 조건이 있는 P × P 위에서 강제할 때 비자명한 n-일관성이 유지되는지 여부를 다루기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 기수에 대해 상대적으로 일관된가? 비자명한 Ȟⁿ(λ, A_d) = 0 이다. 모든 아벨 군 A와 정칙 λ > ωₙ에 대해 n > 1일 때.
• RQ2 cf(δ) ≥ ωₙ일 때, P × P 강제법 하에서 비자명한 n-일관성 가족의 유지가 보장될 수 있는가?
• RQ3 코호몰로지적 비콤팩트성 원리 Ȟⁿ(λ, A_d)는 스퀘어 수열과 정지 반사의 실패에 비해 어떤 강도를 가지는가?
• RQ4 n > 1일 때, 순서수의 코호몰로지는 ωₙ의 구조를 어느 정도 반영하는가?
• RQ5 정리 3.12의 결과를 비약한 콤팩트 기수에 대해 더 높은 코호몰로지 차원으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 정칙 기수 λ > ωₙ에 대해, λ가 약한 콤팩트이거나 강한 콤팩트 기수보다 크거나 같다면, 코호몰로지 군 Ȟⁿ(λ, A_d)는 소멸한다.
• 구조적 체계 L에서, Ȟⁿ(λ, A_d)는 그 비자명성이 가능한 한도에서 비자명하다. 즉, cf(λ) > ωₙ인 정칙 λ > ωₙ에 대해 비자명하다.
• 강한 콤팩트 기수의 레비 붕괴를 통해, 모든 아벨 군 A와 모든 λ ≥ κ에 대해 Ȟ²(λ, A_d) = 0을 강제할 수 있다.
• 비자명한 n-일관성 가족의 함수를 추가하는 강제법이 존재하며, 이는 비자명한 Ȟⁿ(λ, A_d)를 추가한다.
• 동시에 이러한 n-일관성 가족을 제거하는 강제법도 존재하므로, 비자명한 코호몰로지가 절대적이지 않음을 보여준다.
• 코호몰로지적 비콤파クト성 원리 Ȟⁿ(λ, A_d)는 큰 기수와 갈등을 보이며, L에서 최대로 존재함을 보여, 구조성과의 강한 연결 고리를 시사한다.