[논문 리뷰] The common solutions to pseudomonotone equilibrium problems

Dang Van Hieu|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 27.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 허위단조성 이중함수를 포함하는 공통 해 문제(CSEP)를 해결하기 위해 두 가지 반복 알고리즘—병렬 하이브리드 외거법-절단 방법과 순환 하이브리드 외거법-절단 방법—을 제안한다. 이 알고리즘들은 기존의 외거법을 허위단조성 조건으로 확장하여 실 힐버트 공간에서 표준 가정 하에 해로의 강한 수렴을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose two iterative methods for finding a common solution of a finite family of equilibrium problems for pseudomonotone bifunctions. The first is a parallel hybrid extragradient-cutting algorithm which is extended from the previously known one for variational inequalities to equilibrium problems. The second is a new cyclic hybrid extragradient-cutting algorithm. In the cyclic algorithm, using the known techniques, we can perform and develop practical numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 다수의 허위단조성 이중함수를 포함하는 평형 문제(CSEP)의 공통 해를 효율적으로 찾는 반복 알고리즘을 개발하기 위해.
• 기존의 외거법을 변분부등식 문제에서 평형 문제로 확장하여 더 약한 허위단조성 조건 하에서도 적용 가능하도록 하기 위해.
• 반복 수열이 실 힐버트 공간에서 해 집합으로 강하게 수렴하도록 보장하기 위해.
• 특히 대규모 문제에 적합하게 기존의 투영 기법을 활용해 실용적인 수치적 방법을 제공하기 위해.
• 기존의 볼록 가능성 문제, 고정점 문제, 변분부등식 문제의 결과들을 CSEP의 특수 케이스로 통합 및 일반화하기 위해.

제안 방법

• 허위단조성 이중함수를 사용하여 두 개의 강력한 볼록 하위문제를 번갈아가며 푸는 병렬 하이브리드 외거법-절단 알고리즘을 제안한다.
• 인덱스 $[n]$ 이 $1, \dots, N$ 을 순환하는 순환 선택 전략을 사용하여 가족 내 각 이중함수를 순차적으로 처리한다.
• 내적 부등식으로 정의된 반공간 $H_n$ 과 $W_n$ 에 대한 투영 단계를 사용하여 해 집합으로의 수렴을 보장한다.
• 닫힌형 표현식을 통해 $v_n = x_n + \gamma_n(z_n - x_n)$ 에서 유도된 $x_{n+1} = P_{H_n \cap W_n}(x_0)$ 의 명시적 투영 공식을 적용한다.
• 수렴을 보장하기 위해 $0 < \lambda \leq \lambda_n \leq \mu < 1/L$ 과 $0 < \epsilon \leq \gamma_n \leq 1/2$ 를 만족하는 유연성 매개변수 $\lambda_n$ 과 $\gamma_n$ 을 구현한다.
• 유지 가능성과 강한 수렴을 보장하기 위해 연속적인 투영을 통해 하이브리드 방법 프레임워크를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 정규화가 강한 단조성 부족으로 실패하는 허위단조성 이중함수를 포함하는 평형 문제로 외거법이 확장될 수 있는가?
• RQ2 다수의 허위단조성 이중함수를 포함하는 공통 해 문제(CSEP)를 효율적으로 해결하기 위해 병렬 및 순환 알고리즘을 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 단계 크기 및 매개변수에 대한 어떤 조건이 반복 수열의 해 집합으로의 강한 수렴을 보장하는가?
• RQ4 제안된 알고리즘은 특히 $N$ 이 큰 경우 기존의 투영 기법을 활용해 실용적으로 구현될 수 있는가?
• RQ5 제안된 알고리즘은 기존의 볼록 가능성 문제, 고정점 문제, 변분부등식 문제 결과를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 병렬 하이브리드 외거법-절단 알고리즘은 허위단조성과 표준 연속성 조건 하에서 초기점 $x_0$ 의 해 집합 $F$ 로의 투영 $P_F(x_0)$ 로의 강한 수렴을 보장한다.
• 순환 알고리즘은 리프시츠 연속성 및 유계성 조건을 만족하는 허위단조성 연산자 $A_i$ 에 적용되었을 때 $P_{\bar{F}}(x_0)$ 로의 강한 수렴을 보장한다.
• 수렴 속도는 $\|x_{n+1} - x_n\| \to 0$, $\|y_n - x_n\| \to 0$, 그리고 $\|z_n - x_n\| \to 0$ 로 나타나며, $n \to \infty$ 일 때 점점 안정해짐을 나타낸다.
• 벡터 연산과 내적을 사용하여 실용적으로 적용 가능한 $x_{n+1}$ 의 명시적 투영 공식이 도출되었다.
• 모든 $N=1$ 일 때 알고리즘은 [20]의 기존 결과로 축소되며, 단조성 변분부등식 문제에 대한 이전 연구와의 일致성을 확인한다.
• 순환 구조 덕분에 순차적 처리가 가능하여 $N$ 이 큰 경우에도 알고리즘이 강건함을 입증하였으며, [23]의 기법을 활용한 수치 실험 결과를 제시한다.