[논문 리뷰] The Completion of the Manifold of Riemannian Metrics with Respect to its $L^2$ Metric

Brian Clarke|ArXiv.org|2009. 04. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 35인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 컴acts, 정향된 다양체 위의 매끄러운 리만계량의 다양체가 $L^2$ 계량을 지닌 경우 잘 정의된 계량공간임을 확립하고, 그 완비화에 대한 완전한 기술을 제공한다. 약한 리만기하학과 코시수열의 $\omega$-수렴을 이용하여 저자는 완비화를 비가역 집합과 영집합에서의 동치관계에 대한 가측성, 유한체적 준계량의 공간으로 식별한다. 이는 무한차원 리만기하학의 기초 문제를 해결하며 테이히뮐러 이론에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This is the author's Ph.D. thesis, submitted to the University of Leipzig. It deals with the $L^2$ Riemannian metric on the manifold of all smooth Riemannian metrics on a fixed closed, finite-dimensional manifold. The main body of the thesis is a description of the completion manifold of metrics with respect to the $L^2$ metric. The primary motivation for studying this problem comes from Teichmueller theory, where similar considerations lead to a completion of the well-known Weil-Petersson metric. We give an application of the main theorem to the completions of Teichmueller space with respect to a class of metrics that generalize the Weil-Petersson metric. We also prove that the $L^2$ metric induces a metric space structure on the manifold of metrics. As the $L^2$ metric is a weak Riemannian metric, this fact does not follow from general results. In addition, we prove several results on the exponential mapping and distance function of a weak Riemannian metric on a Hilbert/Frechet manifold. The statements are analogous to, but weaker than, what is known in the case of a Riemannian metric on a finite-dimensional manifold or a strong Riemannian metric on a Hilbert manifold.

연구 동기 및 목표

• 컴acts, 정향된 다양체 위의 매끄러운 리만계량의 다양체가, 접선공간의 완비성이 없음에도 불구하고 $L^2$ 약한 리만계량에 의한 계량공간임을 증명하는 것.
• 이 계량공간의 완비화를 구체적인 기하학적 및 해석학적 용어로 묘사하는 것.
• 거리함수가 양의 정부호가 아닐 수 있는 약한 리만기하학에서의 기초 문제를 해결하는 것.
• 완비화 결과를 테이히뮐러 이론에 적용하여, 특히 테이히뮐러 공간 위의 웨일-피터슨 계량에 응용하는 것.
• $\omega$-수렴의 엄밀한 프레임워크를 개발하여, 극한 준계량의 식별을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 매끄러운 리만계량의 공간 위의 $L^2$ 계량을 분석하기 위해 프레셰 다양체 이론과 약한 리만기하학 구조를 활용하는 것.
• 체적 기반 추정과 계량의 약한 극한에 기반한 수렴 개념인 $\omega$-수렴을 도입하고 분석하는 것.
• 계량 다양체의 유연한 부분집합을 정의하고, $L^2$ 계량 하에서 그 완비화가 잘 정의됨을 증명하는 것.
• 계량 성분에 대한 점별 및 $L^p$ 추정을 이용하여 코시수열의 $\omega$-극한으로부터 가측 준계량을 구성하는 것.
• $\omega$-극한이 비가역 집합과 영집합에서의 동치관계에 대해 유일함을 증명하여, 완비화가 잘 정의됨을 보장하는 것.
• 매핑 클래스군의 작용 하에서 계량 다양체의 몫으로서 테이히뮐러 공간을 실현함으로써 완비화 결과를 테이히뮐러 공간에 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만계량의 다양체 위의 $L^2$ 계량은 진정한 계량인가, 즉 거리함수가 양의 정부호인가?
• RQ2 $L^2$ 계량 하에서 리만계량의 다양체의 완비화의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ3 계량이 붕괴할 경우, 이 공간 내의 코시수열의 극한점은 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ4 완비화는 가측성, 유한체적 준계량으로 묘사될 수 있으며, 어떤 동치관계가 필요한가?
• RQ5 이 완비화는 웨일-피터슨 계량을 포함한 테이히뮐러 이론의 알려진 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 매끄러운 리만계량의 다양체가 $L^2$ 계량을 지닌 경우, 거리함수가 양의 정부호이므로 잘 정의된 계량공간임이 입증된다.
• $L^2$ 계량 하에서 리만계량의 다양체의 완비화는 유한체적 가측 준계량의 공간으로 등距적으로 식별되며, 이는 비가역 집합과 영집합에서의 동치관계를 모odulo로 한다.
• $\omega$-수렴 수열의 극한은 존재하며, 비가역 집합과 영집합에서의 동치관계에 대해 유일하므로, 극한 준계량을 구성하는 구체적인 방법을 제공한다.
• 완비화는 체적 기반 추정과 $L^2$에서 텐서장의 약한 수렴에 기반한 $\omega$-수렴을 통해 달성된다.
• 유한체적 가측 준계량의 공간은 유도된 거리에 대해 완비계량공간이며, 이는 원래 다양체의 자연스러운 완비화이다.
• 이 결과는 매핑 클래스군의 작용 하에서 완비화된 계량 다양체의 몫으로서 테이히뮐러 공간을 엄밀하게 완비화할 수 있게 하며, 웨일-피터슨 계량에 대한 보다 엄밀한 기반을 마련한다.