[논문 리뷰] The Complexity of Downward Closure Comparisons

Georg Zetzsche|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

semigroups and automata theory인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 오ート마타, 한 개의 카운터 오트마타, 반전 유한 카운터 오트마타, 그리고 문맥 자유 문법으로 생성된 언어의 내림내림(closure) 간 포함 및 동치성 결정의 계산 복잡도를 조사한다. 대부분의 조합에 대해 완전성 결과를 확립하여 복잡도가 coNP에서 coNEXP에 이르기까지 다양함을 보이며, 페트리 넷 언어의 경우 Ackermann-hard이고, 순서 k의 고차원 푸시다운 오트마타의 경우 co-k-NEXP-hard임을 증명한다.

ABSTRACT

The downward closure of a language is the set of all (not necessarily contiguous) subwords of its members. It is well-known that the downward closure of every language is regular. Moreover, recent results show that downward closures are computable for quite powerful system models. One advantage of abstracting a language by its downward closure is that then equivalence and inclusion become decidable. In this work, we study the complexity of these two problems. More precisely, we consider the following decision problems: Given languages $K$ and $L$ from classes $\mathcal{C}$ and $\mathcal{D}$, respectively, does the downward closure of $K$ include (equal) that of $L$? These problems are investigated for finite automata, one-counter automata, context-free grammars, and reversal-bounded counter automata. For each combination, we prove a completeness result either for fixed or for arbitrary alphabets. Moreover, for Petri net languages, we show that both problems are Ackermann-hard and for higher-order pushdown automata of order~$k$, we prove hardness for complements of nondeterministic $k$-fold exponential time.

연구 동기 및 목표

• 주요 오트마타 모델에 대해 한 언어의 내림내림이 다른 언어의 내림내림을 포함하거나 동치인지를 결정하는 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 정규 언어를 초과하는 내림내림 비교에 대한 완전성 결과를 통해 이전 연구의 격차를 메우는 것.
• 입력 알파벳을 고정한 경우와 임의로 한 경우가 이러한 결정 문제의 복잡도에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 내림내림 비교 문제에 대한 하한을 증명하기 위한 일반 기법을 개발하는 것.
• 페트리 넷 언어 및 고차원 푸시다운 오트마타와 같은 강력한 모델으로 복잡도 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 유한 오트마타, 한 개의 카운터 오트마타, 반전 유한 카운터 오트마타, 그리고 문맥 자유 문법에 대해 내림내림 포함 및 동치성 문제의 완전성 결과를 증명하는 것.
• 작은 증거자(generic results on small witnesses)를 사용하여 결정 문제의 상계를 도출하는 것.
• 상계 증명을 지원하기 위해 내림내림의 모델별 성질을 확립하는 것.
• 내림내림 비교 문제에 대한 하한을 증명하기 위한 일반적 방법을 개발하는 것 — coNTIME(t) 문제로부터 내림내림 비교로의 축소를 통해.
• 감소 프레임워크 내에서 잘못된 계산 인코딩을 시뮬레이션하기 위해 다항식 시간 유리 함수 변환(rational transductions)을 구성하는 것.
• 확대 함수(amplifying functions)와 정밀하게 선택된 단어 길이를 활용하여 튜링 기계의 계산을 언어 구조에 인코딩하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 오트마타, 한 개의 카운터 오트마타, 반전 유한 카운터 오트마타, 그리고 문맥 자유 문법에 대해 언어 K의 내림내림이 언어 L의 내림내림을 포함하는지를 결정하는 데 필요한 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 입력 알파벳을 고정하는 것은 내림내림 포함 및 동치성 문제의 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 페트리 넷 언어 및 순서 k의 고차원 푸시다운 오트마타에 대해 내림내림 비교의 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 다양한 오트마타 모델에 걸쳐 내림내림 비교 문제의 하드니스 결과를 증명하기 위해 일반적인 축소 기법을 사용할 수 있는가?
• RQ5 내림내림의 모델별 구조적 성질은 복잡도의 날것된 상한을 유도하기 위해 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 유한 오트마타의 경우, 내림내림 포함 및 동치성 문제는 이조차도 이진 알파벳에서도 coNP-완전하다.
• 한 개의 카운터 오트마타 및 반전 유한 카운터 오트마타(고정된 카운터와 반전 횟수를 가진 경우)의 경우, 알파벳이 고정되어 있을 때 문제는 coNP-완전하다.
• 문맥 자유 문법 및 일반적인 반전 유한 카운터 오트마타의 경우 문제는 coNEXP-완전하다. 다만 모든 조합에 대해 완전성은 입증되지 않았다.
• 페트리 넷 언어의 내림내림 비교 문제는 Ackermann-hard이며, 매우 높은 복잡도를 나타낸다.
• 순서 k의 고차원 푸시다운 오트마타의 경우 문제는 co-k-NEXP-hard이며, k가 증가함에 따라 복잡도의 계층이 증가함을 보여준다.
• 내림내림 문제의 하한을 증명하기 위한 일반적인 축소 프레임워크를 개발하여 튜링 기계의 비수용 계산을 언어 인코딩에 인코딩하는 데 성공했다.