[논문 리뷰] The conservation of the Hamiltonian structures in Whitham's method of averaging

A. Ya. Maltsev|ArXiv.org|1996. 11. 28.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 7인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 비선형 진동 시스템에 대한 Whitham의 평균화 방법에서 국소 해밀토니안 구조의 보존을 엄밀히 입증한다. 이는 m-주기 해의 평균화를 통해 구성된 Dubrovin-Novikov 해밀토니안 브라켓의 자코비 항등식을 증명함으로써 이루어지며, 함수들의 부분다양체 위에서 Dirac의 제약 절차를 적용하여, 결과 브라켓이 국소 수반 법칙의 선택에 관계없이 불변임을 보여, 주기적 또는 준주기적 해의 균형 조절 근사에서 해밀토니안 구조가 유지됨을 보장한다.

ABSTRACT

The work is devoted to the proof of the conservation of local field-theoretical Hamiltonian structures in Whitham's method of averaging. The consideration is based on the procedure of averaging of local Poisson bracket, proposed by B.A.Dubrovin and S.P.Novikov. Using the Dirac procedure of restriction of the Poisson bracket on the submanifold in the functional space, it is shown in the generic case that the Poisson bracket, constructed by method of Dubrovin and Novikov, satisfies the Jacobi identity. Besides that, the invariance of this bracket with respect to the choice of the set of local conservation laws, used in this procedure, is proved.

연구 동기 및 목표

• 비선형 PDE에 대한 Whitham의 평균화 방법에서 국소 장이론 해밀토니안 구조의 보존을 확립하기 위해.
• m-주기 해의 평균화를 통해 구성된 Dubrovin-Novikov 해밀토니안 브라켓이 자코비 항등식을 만족함을 증명하기 위해.
• 평균화 절차에 사용된 국소 수반 법칙의 선택에 관계없이 결과 해밀토니안 구조가 불변임을 보여주기 위해.
• 통합 PDE에서 유도된 Whitham 시스템의 해밀토니안 공식화에 엄밀한 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• m-주기 해의 평균화를 통해 국소 해밀토니안 브라켓을 평균화하는 Dubrovin-Novikov 절차를 적용한다.
• 원래 해밀토니안 브라켓을 천천히 변화하는 조절된 해의 부분다양체로 제약 조건을 적용하여 Dirac의 제약 절차를 사용한다.
• 단위 주기 해가 단위 이동과 추가 매개변수에 의해 매개변수화될 수 있도록 조건을 설정하여, N=2m+g개의 독립적인 수반 법칙이 존재함을 보장한다.
• 조절된 매개변수 U^ν로 표현된 평균화된 브라켓을 유도하고, 일반적인 경우에 자코비 항등식을 만족함을 보인다.
• 제약 다양체 위에서 좌표 변환을 통한 불변성으로, 다양한 수반 법칙 집합의 선택에 관계없이 결과 브라켓이 불변임을 보여준다.
• 수반 법칙에 의해 생성되는 흐름에 따른 밀도의 진화를 분석하여 Whitham의 방정식과의 일관성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dubrovin-Novikov 평균화 절차를 통해 구성된 해밀토니안 브라켓이 자코비 항등식을 만족하는가?
• RQ2 Whitham의 방법에서 얻어진 해밀토니안 구조는 평균화 과정에 사용된 국소 수반 법칙의 선택에 관계없이 불변인가?
• RQ3 m-주기 해의 맥락에서 Dirac 절차를 적용하여 평균화된 브라켓의 자코비 항등식을 증명할 수 있는가?
• RQ4 평균화된 수반 법칙에 의해 생성되는 흐름은 원래 시스템의 역학과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 주기적 또는 준주기적 해의 천천히 변화하는 조절 조건 하에서 해밀토니안 구조는 어떤 조건에서 보존되는가?

주요 결과

• 일반적인 경우에 Dirac의 제약 절차를 사용하여, Dubrovin-Novikov 방법으로 구성된 평균화된 해밀토니안 브라켓에 대한 자코비 항등식이 엄밀히 증명되었다.
• 제약 다원체 위에서 좌표 변환의 불변성으로, 평균화 절차에 사용된 국소 수반 법칙 집합의 선택에 관계없이 결과 해밀토니안 구조가 불변임을 보였다.
• 평균화된 브라켓은 원래 시스템의 해밀토니안 성격을 유지하며, m-주기 해에 대한 Whitham 방정식이 구성된 브라켓에 대해 해밀토니안임을 보장한다.
• 평균화된 수반 법칙에 의해 생성되는 흐름은 정확히 Whitham의 방정식과 일치하며, 해밀토니안은 조절된 매개변수의 천천히 변화하는 진화를 생성한다.
• 모든 형식 (8)의 함수들, 즉 해밀토니안과 상호작용하는 함수들, 운동량 및 영항성자들까지 포함하여, 이들의 흐름이 자명하거나 이동성 흐름을 생성함을 보여주며, 절차가 일관됨을 입증하였다.
• 단위 주기 해의 전체 가중치가 단위 이동과 추가 상수에 의해 매개변수화되고, N=2m+g개의 독립적인 수반 법칙이 존재하는 조건 하에서 이 구성은 타당하다.