[논문 리뷰] The CROCs, non-commutative deformations, and (co)associative bialgebras

Boris Shoikhet|ArXiv.org|2003. 06. 09.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 1인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 (코)결합적 대수기하학의 비가환 변형을 다스리는 데 쓰는 콤팩트화된 콘티세비치 공간 $K(m,n)$의 콤팩트화로, CROC(Coalesced Riemannian Operad Complex)라고 불리는 새로운 대수적 구조를 도입한다. 이는 비가환 변형을 다스리는 데 추측적으로 기능하는 결합적 dg 대수를 구성하고, 퀼렌 dual을 사용하여 표준적인 가환 변형을 다스리는 데 추측적으로 기능하는 dg 리 대수를 유도한다. 이는 이 맥락에서 비가환 변형이 더 근본적일 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We compactify the spaces $K(m,n)$ introduced by Maxim Kontsevich. The initial idea was to construct an $L_\infty$ algebra governing the deformations of a (co)associative bialgebra. However, this compactification leads not to a resolution of the PROP of (co)associative bialgebras, but to a new algebraic structure we call here a CROC. It turns out that these constructions are related to the non-commutative deformations of (co)associative bialgebras. We construct an associative dg algebra conjecturally governing the non-commutative deformations of a bialgebra. Then, using the Quillen duality, we construct a dg Lie algebra conjecturally governing the commutative (usual) deformations of a (co)associative bialgebra. Philosophically, the main point is that for the associative bialgebras the non-commutative deformations is maybe a more fundamental object than the usual commutative ones.

연구 동기 및 목표

• 초기에는 이러한 대수기하학의 PROP에 대한 해체를 기대하며, (코)결합적 대수기하학의 변형을 다스리는 $L_{\nu}$-대수를 구성하는 것.
• 콘티세비치의 공간 $K(m,n)$을 기존의 PROP을 넘어서는 새로운 대수적 구조를 드러내는 방식으로 콤팩트화하는 것.
• 콤팩트화된 공간의 경계 스트라타로부터 유래하는 새로운 대수적 구조인 CROC을 정의하는 것.
• 비가환 변형을 다스리는 데 추측적으로 기능하는 결합적 dg 대수를 구성하는 것.
• quilren dual을 사용하여 비가환 구조에서 표준적인 가환 변형을 다스리는 데 추측적으로 기능하는 dg 리 대수를 도출하는 것.

제안 방법

• 콘티세비치가 도입한 공간 $K(m,n)$을 콤팩트화하여, 다중 첨자를 가진 공간들 $K_{m_1,\dots,m_{\ell_1}}^{n_1,\dots,n_{\ell_2}}$를 포함하는 경계 스트라타를 드러내는 것.
• 콤팩트화된 공간에 의해 매개화되는 연산들로 이루어진 대수적 구조로서 CROC을 정의하고, 이를 PROP의 일반화로 삼는 것.
• 가능한 비가환 변형 대수의 쌍대를 기반으로 한 텐서 대수 구조를 사용하여, 가설적인 비가환 변형 대수의 쌍대에 대한 Quillen dual로써 결합적 dg 대수 $\mho$를 구성하는 것.
• 두 번의 Quillen dual 적용: 첫 번째로 dg 가환 대수 $A_0^\bullet = \Omega / [\Omega, \Omega]$를 얻고, 두 번째로 dg 리 대수 $\mathfrak{g}^\bullet$를 얻어, 이는 가환 변형을 다스리는 데 추측적으로 기능하는 것.
• 결합적 경우에서 Hochschild 복합체와 Gerstenhaber 괄호를 변형 리 대수의 모델로 사용하고, $\mathfrak{g}^\bullet \to \mho$ 사상으로 비교하는 것.
• $H^0(\mathfrak{g}^\bullet) \cong A_0^\bullet$라는 추측을 제기하여, 0차 코homology를 모듈리 공간 내에서 대수기하학의 형식적 이웃에서의 함수들과 동일시하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콘티세비치의 $K(m,n)$ 공간의 콤팩트화가 (코)결합적 대수기하학에 대해 예상된 PROP을 넘어서는 새로운 대수적 구조를 도출할 수 있는가?
• RQ2 (코)결합적 대수기하학의 비가환 변형 이론이 표준적인 가환 변형 이론보다 더 근본적인가?
• RQ3 Quillen dual을 통해 구성된 결합적 dg 대수 $\mho$가 실제로 (코)결합적 대수기하학의 비가환 변형을 다스리는가?
• RQ4 $\mho$의 중심을 제거한 Quillen dual이 dg 가환 대수를 만들어내며, 그 0차 코homology가 대수기하학의 형식적 모듈리 공간을 묘사하는가?
• RQ5 최종적으로 도출된 dg 리 대수 $\mathfrak{g}^\bullet$가 실제로 가환 변형을 다스리는 데 추측적으로 기능하는가?

주요 결과

• 공간 $K(m,n)$의 콤팩트화는 다중 첨자를 가진 콤팩트화된 공간들의 곱으로 유래하는 새로운 대수적 구조인 CROC을 도출한다. 이는 PROP을 일반화한다.
• 이 구성은 비가환 변형을 다스리는 데 추측적으로 기능하는 결합적 dg 대수 $\mho$를 도출한다. 이는 Quillen dual을 통해 유도된다.
• $\mho$의 중심을 제거한 Quillen dual은 dg 가환 대수 $A_0^\bullet$를 생성하며, 그 0차 코homology는 모듈리 공간 내에서 대수기하학의 형식적 이웃에서의 함수들과 동형이다.
• $A_0^\bullet$의 Quillen dual은 비가환 변형 이론에서 유도된 dg 리 대수 $\mathfrak{g}^\bullet$이며, 이는 가환 변형을 다스리는 데 추측적으로 기능한다.
• 자유 가환 코코커널 대수기하학 $S(V)$의 경우, 대수 $\mho$는 추측적으로 형식적이다. 이에 따라 유도된 $\mathfrak{g}^\bullet$ 역시 형식적이라고 추측된다.
• 결합적 대수의 경우 $\mathfrak{g}^\bullet \to \mho$ 사상은 존재하지만, 대수기하학의 경우 존재하지 않아, 이중 Quillen dual 구성이 필요하다.