[论文解读] The Dirichlet Problem of Fully Nonlinear Equations on Hermitian Manifolds

Ke Feng, Huabin Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 65被引用 8

一句话总结

该论文在满足允许的次解和梯度有界条件的前提下，为紧致 Hermitian 流形上的全非线性椭圆方程建立了先验 $C^2$ 估计，并通过梯度估计与 Evans-Krylov 理论，证明了 Hessian 商方程与 $(m-1,m-1)$-Hessian 商方程在紧致 Hermitian 流形上的 Dirichlet 问题的可解性，将结果推广至复的、非 Kähler 的情形。

ABSTRACT

We study the Dirichlet problem of a class of fully nonlinear elliptic equations on Hermitian manifolds and derive a priori $C^2$ estimates which depend on the initial data on manifolds, the admissible subsolutions and the upper bound of the gradients of the solutions. In some special cases, we obtain the gradient estimates, and hence we can solve the corresponding Dirichlet problem with admissible subsolutions. We also study the Hessian quotient equations and $(m-1,m-1)$-Hessian quotient equations on compact Hermitian manifolds without boundary.

研究动机与目标

• 为具有光滑边界的紧致 Hermitian 流形上的全非线性椭圆方程建立先验 $C^2$ 估计。
• 在涉及允许的次解与有界梯度的条件下，证明 Dirichlet 问题的可解性。
• 将 Hessian 商方程与 $(m-1,m-1)$-Hessian 商方程的结果推广至非 Kähler Hermitian 流形。
• 通过 Hessian 结构的变换，解决复的、非 Kähler 情形下的二阶估计挑战。

提出的方法

• 引入变换 $T: \lambda \mapsto \mu$，其中 $\mu_i = \frac{1}{m-1}\sum_{k \neq i} \lambda_k$，以将方程重写为 $\tilde{f}(T(\lambda))$ 的形式。
• 对 $W(\mathrm{d}u)$ 施加结构条件，以控制复 Hessian 项并实现二阶估计。
• 在建立 $C^2$ 估计后，应用 Evans-Krylov 理论推导出 $C^{2,\alpha}$ 估计。
• 通过爆破分析与紧致性论证，排除非平凡的 Lipschitz 解的存在，从而导出矛盾，最终确立 $C^2$ 估计。
• 在获得 $C^{2,\alpha}$ 控制后，利用 Schauder 估计获得所有 $k \geq 0$ 的一致 $C^k$ 估计。
• 依赖于 $f$ 与 $\tilde{f}$ 在对称锥 $\Gamma$ 与 $\tilde{\Gamma}$ 上的严格拟凹性、一阶导数的正性及渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设 Kähler 条件的前提下，能否为 Hermitian 流形上的全非线性椭圆方程建立 $C^2$ 估计？
• RQ2 在 $f$、$\chi$ 与 $W(\mathrm{d}u)$ 满足何种条件下，可利用允许的次解求解 Dirichlet 问题？
• RQ3 Hessian 商方程与 $(m-1,m-1)$-Hessian 商方程在无边界的紧致 Hermitian 流形上是否具有解？
• RQ4 当标准实方法失效时，能否在复的、非 Kähler 设置下导出梯度估计？
• RQ5 变换 $T(\lambda)_i = \frac{1}{m-1}\sum_{k \neq i} \lambda_k$ 在实现估计中起到何种作用？

主要发现

• 在初始数据、允许的次解与梯度有界性的假设下，独立于曲率，导出了先验 $C^2$ 估计。
• 在特定情形下获得了梯度估计，从而保证了在允许次解条件下的 Dirichlet 问题可解性。
• 在建立 $C^2$ 估计后，通过 Evans-Krylov 理论可推出 $C^{2,\alpha}$ 估计。
• 在获得 $C^{2,\alpha}$ 控制后，通过 Schauder 理论可推导出所有 $k \geq 0$ 的一致 $C^k$ 估计。
• 在无边界的紧致 Hermitian 流形上，成功求解了 Hessian 商方程与 $(m-1,m-1)$-Hessian 商方程的 Dirichlet 问题。
• 通过假设存在非平凡 Lipschitz 解导出矛盾，从而确认了 $C^2$ 估计的必要性，并完成了证明。