[논문 리뷰] The dynamical Mordell-Lang problem for etale maps

Jason P. Bell, Dragos Ghioca외 1명|ArXiv.org|2008. 08. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 28인용 수 62

한 줄 요약

이 논문은 복소수체 위의 준사영적 다양체에 대한 에탈 엔도모르피즘에 대해 Mordell-Lang 추측의 역학적 판본을 증명한다. 이는 어떤 부분다양체와 전방 궤도의 교차가 어떤 맵의 반복에 대한 궤도들의 유한한 합집합임을 보여준다. p-진 해석적 방법(스코렘-마할러-레흐의 영향을 받음)과代수기하학을 사용하여, 만약 궤도의 점들이 무한히 많은 수가 부분다양체에 속해 있다면, 그 점들은 어떤 맵의 반복에 대해 주기적인 궤도들의 유한한 합집합에 속해 있어야 한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We prove a dynamical version of the Mordell-Lang conjecture for etale endomorphisms of quasiprojective varieties. We use p-adic methods inspired by the work of Skolem, Mahler, and Lech, combined with methods from algebraic geometry. As special cases of our result we obtain a new proof of the classical Mordell-Lang conjecture for cyclic subgroups of a semiabelian variety, and we also answer positively a question of Keeler/Rogalski/Stafford for critically dense sequences of closed points of a Noetherian integral scheme.

연구 동기 및 목표

• ℂ 위의 준사영적 다양체에 대한 에탈 엔도모르피즘에 대해 역학적 Mordell-Lang 추측을 해결한다.
• 기존의 Mordell-Lang 결과를 군의 부분군 대신 사상에 의한 궤도로 일반화한다.
• 반순환 부분군을 갖는 준아벨 다양체에 대해 고전적 Mordell-Lang 추측의 새로운 증명을 제시한다.
• Keeler, Rogalski, 및 Stafford가 제기한 질문에 대해 긍정적으로 응답한다: Noetherian 정수환 스킴에서 궤도의 임계 밀도는 무엇인가?
• 어떤 지수 n에 대해 궤도 점 Φ^n(α)이 부분다양체에 속할 때, 그 지수 집합이 산술급수들의 유한한 합집합임을 증명한다.

제안 방법

• p-진 맵 θi: ℤp → X를 이용해 궤도의 p-진 해석적 매개변수화를 사용한다.
• p-진 해석 함수의 영점 원리 적용: 비영인 p-진 해석 함수는 컴act 도메인에서 무한히 많은 영점을 가질 수 없다.
• 궤도가 부분다양체와 교차하는 구조를 제어하기 위해 수론기하학과 p-진 해석학 기법을 활용한다.
• 지역 선형화와 자기동형사상 성질을 이용해 주기점 근처의 반복 행동을 분석함으로써 문제를 단순화한다.
• 에탈 사상이 접공간에 국소적으로 동형을 유도하므로, 국소적으로 올리기와 해석적 제어가 가능하다는 점을 이용한다.
• 자기동형사상에 의한 내림내림 증명을 통해, 궤도가 부분다양체와 무한히 자주 교차하면, 반드시 어떤 반복에 대해 주기적인 부분다양체에 포함되어야 한다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에탈 엔도모르피즘에 의한 전방 궤도와 부분다양체의 교차는 어떤 맵의 반복에 대한 궤도들의 유한한 합집합인가?
• RQ2 반순환 부분군을 갖는 준아벨 다양체에 대한 고전적 Mordell-Lang 추측은 역학적 방법을 통해 복원될 수 있는가?
• RQ3 어느 자리를 밀도가 있는 궤도가 자기동형사상에 의해 임의의 무한 부분집합이 자리를 밀도가 있는가?
• RQ4 만약 부분다양체에 무한히 많은 궤도 점이 속해 있다면, 궤도의 꼬리 부분을 포함하는 주기적 부분다양체가 존재해야 하는가?
• RQ5 p-진 해석적 방법을 사용하여 역학적 맥락에서 궤도 교차의 유한성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 어떤 부분다양체 V와 에탈 엔도모르피즘에 의한 점의 전방 궤도 사이의 교차는 어떤 반복 Φ^N에 대한 궤도들의 유한한 합집합이다.
• 이 결과는 만약 무한히 많은 궤도 점들이 V에 속해 있다면, 반드시 어떤 반복 Φ^N에 대해 불변인 주기적 부분다양체에 속해 있어야 한다는 것을 시사한다.
• 반순환 부분군을 갖는 준아벨 다양체에 대해 고전적 Mordell-Lang 추측의 새로운 증명을 확보한다.
• 논문은 Keeler, Rogalski, 및 Stafford의 추측을 확인한다: 자기동형사상에 의해 자리를 밀도가 있는 궤도는 임의의 무한 부분집합이 자리를 밀도가 있다.
• 어느 부분다양체 V와 점 α에 대해, Φ^n(α) ∈ V를 만족하는 지수 n의 집합은 산술급수들의 유한한 합집합이다.