[논문 리뷰] The dynamics of a class of quasi-periodic Schrödinger cocycles

Kristian Bjerklöv|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 21.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 큰 결합 상수와 두 개의 임계점을 가진 $ C^2 $ 모스 함수를 갖는 준주기적 슈뢰딩거 코시클의 역학을 분석하며, 에너지에 관계없이 리아풀로프 지수의 하한이 $ \gtrsim \log\lambda $ 임을 입증하고, 관련된 비대칭 곱 맵이 정확히 두 개의 에르고딕 측도를 가짐을 증명한다. 또한 스펙트럼에서 개방 갭의 끝부분을 제외한 영역에서 역학의 최소성(minimality)이 성립하며, 이는 거의 매쓰ieu 연산자에 응용된다.

ABSTRACT

Let $f:\mathbb{T} o\mathbb{R}$ be a Morse function of class $C^2$ with exactly two critical points, let $ω\in\mathbb{T}$ be Diophantine, and let $λ>0$ be sufficiently large (depending on $f$ and $ω$). For any value of the parameter $E\in \mathbb{R}$ we make a careful analysis of the dynamics of the skew-product map $$Φ_E(θ,r)=\left(θ+ω,λf(θ)-E-1/r ight),$$ acting on the "torus" $\mathbb{T} imes\widehat{\mathbb{R}}$. The map $Φ_E$ is intimately related to the quasi-periodic Schrödinger cocycle $(ω,A_E): \mathbb{T} imes \mathbb{R}^2 o \mathbb{T} imes \mathbb{R}^2$, $(θ,x)\mapsto (θ+ω, A_E(θ)\cdot x)$, where $A_E:\mathbb{T} o ext{SL}(2,\mathbb{R})$ is given by $A_{E}(θ)=\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & λf(θ)-E \end{matrix} ight), \quad E\in \mathbb{R}. $ More precisely, $(ω,A_E)$ naturally acts on the space $\mathbb{T} imes\widehat{\mathbb{R}}$, and $Φ_E$ is the map thus obtained. The analysis of $Φ_E$ allows us to derive three main results: (1) The (maximal) Lyapunov exponent of the Schrödinger cocycle $(ω,A_E)$ is $\gtrsim \log λ$, uniformly in $E\in \mathbb{R}$. This implies that the map $Φ_E$ has exactly two ergodic probability measures for all $E\in \mathbb{R}$; (2) If $E$ is on the edge of an open gap in the spectrum $σ(H)$ of the associated Schrödinger operator $H_θ$, then there exist a phase $θ\in\mathbb{T}$ and a vector $u\in l^2(\mathbb{Z})$, exponentially decaying at $\pm\infty$, such that $H_θu=Eu$; (3) The map $Φ_E$ is minimal iff $E\in σ(H)\setminus\{ ext{edges of open gaps}\}$. In particular, $Φ_E$ is minimal for all $E$ for which the fibered rotation number $α(E)$ associated to $(ω,A_E)$ is irrational with respect to $ω$.

연구 동기 및 목표

• 결합 상수 $ \lambda $ 가 크고 잠계점이 두 개인 $ C^2 $ 모스 함수인 잠계함수를 갖는 준주기적 슈뢰딩거 코시클의 역학적 행동을 이해하는 것.
• 모든 에너지 $ E\in\mathbb{R} $ 에 대해 관련된 비대칭 곱 맵 $ \Phi_E $ 의 에르고딕 확률 측도의 수를 결정하는 것.
• 슈뢰딩거 연산자 $ H_\theta $ 의 스펙트럼 구조와 관련하여 맵 $ \Phi_E $ 의 최소성 조건을 규명하는 것.
• 스펙트럼의 개방 갭의 끝부분에서 고유값 방정식 $ H_\theta u = Eu $ 가 지수적으로 감쇠하는 해를 갖는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 슈뢰딩거 코시클 $ (\omega, A_E) $ 에서 유도된 비대칭 곱 맵 $ \Phi_E(\theta,r) = (\theta+\omega, \lambda f(\theta) - E - 1/r) $ 를 $ \mathbb{T} \times \widehat{\mathbb{R}} $ 에서 분석.
• 코시클의 역학을 분석하기 위해 $ \widehat{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\} $ 인 사영 공간을 사용.
• 디오판틴 주파수 $ \omega $ 와 큰 $ \lambda $ 에서 리아풀로프 지수 및 스펙트럼 성질을 분석하기 위해 KAM 유사 및 섭동 기법을 적용.
• 비유리수인 경우 $ \omega $ 에 대해 비례하는 섬세한 각도 $ \alpha(E) $ 를 사용하여 $ \Phi_E $ 의 최소성 조건을 규명.
• 임계점 근처의 역학을 제어하기 위해 잠계함수 $ f $ 와 그 도함수에 대한 명시적 추정을 수립.
• 함수 $ g $, $ h $, $ s $ 의 추정을 사용하여 $ \psi = s + w = \lambda f(\theta) - E - 1/r $ 과 그 도함수의 행동을 분석하는 문제로 문제를 단순화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결합 상수가 크고 $ f $ 가 두 개의 임계점을 가진 모스 함수일 때, 슈뢰딩거 코시클 $ (\omega, A_E) $ 의 리아풀로프 지수 $ \gamma(E) $ 는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 주어진 조건 하에서 모든 $ E \in \mathbb{R} $ 에 대해 비대칭 곱 맵 $ \Phi_E $ 는 몇 개인가?
• RQ3 스펙트럼 조건이 무엇일 때 맵 $ \Phi_E $ 는 최소가 되는가?
• RQ4 스펙트럼 $ \sigma(H) $ 의 개방 갭의 끝부분에서 고유값 방정식 $ H_\theta u = Eu $ 는 언제 지수적으로 감쇠하는 해를 갖는가?
• RQ5 섬세한 각도 $ \alpha(E) $ 는 $ \Phi_E $ 의 최소성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 $ E \in \mathbb{R} $ 에 대해 최대 리아풀로프 지수 $ \gamma(E) $ 는 $ \gamma(E) \gtrsim \log\lambda $ 를 만족하며, 이는 강한 초구형성(hyperbolicity)을 의미한다.
• 큰 결합 상수와 $ f $ 의 구조로 인해 모든 $ E \in \mathbb{R} $ 에 대해 맵 $ \Phi_E $ 는 정확히 두 개의 에르고딕 확률 측도를 가진다.
• 만약 $ E $ 가 스펙트럼 $ \sigma(H) $ 의 개방 갭의 끝부분에 위치한다면, 어떤 단계 $ \theta $ 와 $ l^2(\mathbb{Z}) $ 에 속하는 해 $ u $ 가 존재하여 $ H_\theta u = Eu $ 를 만족하고 $ \pm\infty $ 에서 지수적으로 감쇠한다.
• 맵 $ \Phi_E $ 는 $ E \in \sigma(H) \setminus \{\text{개방 갭의 끝부분}\} $ 일 때에만 최소가 된다. 이는 비유리수인 $ \omega $ 에 대해 섬세한 각도 $ \alpha(E) $ 가 비유리수일 때 모든 $ E $ 를 포함한다.
• 결과는 $ f(\theta) = \cos(2\pi\theta) $ 인 거의 매쓰ieu 연산자에 적용되며, $ f $ 가 요구하는 조건을 만족한다.
• 스펙트럼 $ \sigma(H) $ 는 칸토어 집합이며, 거의 모든 $ \theta \in \mathbb{T} $ 에 대해 $ H_\theta $ 는 순수 점 스펙트럼을 가지며, 고유함수는 지수적으로 감쇠한다. 이는 이러한 조건 하에서 시나이에 의해 입증되었다.