[논문 리뷰] The eigenvalue problem for the Monge-Amp\\`ere operator on general bounded convex domains

Nam Q. Le|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 18.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 4인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 유계 볼록 도메인에 대해 몽헤-암페르 고유값의 존재성, 유일성 및 변분적 특성화를 확립하며, 이는 이전 결과를 매끄럽고 균일하게 볼록인 도메인에서부터 특이하고 비매끄러운 설정으로 확장한다. 고유함수는 양수 상수를 제외하고는 유일하며, 고유값은 도메인의 하우스도르프 수렴에 대해 안정적임을 보이며, 브룬-민코프스키 및 등주 부등식의 전반적인 일반성에 기여한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the eigenvalue problem for the Monge-Amp\\`ere operator on general bounded convex domains. We prove the existence, uniqueness and variational characterization of the Monge-Amp\\`ere eigenvalue. The convex Monge-Amp\\`ere eigenfunctions are shown to be unique up to positive multiplicative constants. Our results are the singular counterpart of previous results by P-L. Lions and K. Tso in the smooth, uniformly convex setting. Moreover, we prove the stability of the Monge-Amp\\`ere eigenvalue with respect to the Hausdorff convergence of the domains. This stability property makes it possible to investigate the Brunn-Minkowski, isoperimetric and reverse isoperimetric inequalities for the Monge-Amp\\`ere eigenvalue in their full generality. We also discuss related existence and regularity results for a class of degenerate Monge-Amp\\`ere equations.

연구 동기 및 목표

• 경계에 매끄러움 조건 없이 일반적인 유계 볼록 도메인으로 몽헤-암페르 고유값 문제 이론을 매끄럽고 균일하게 볼록인 도메인에서부터 확장하기.
• 특이하고 탈선한 설정에서 몽헤-암페르 고유값과 고유함수의 존재성 및 유일성을 확립하기.
• 고유값이 도메인의 하우스도르프 수렴에 대해 안정적임을 증명하여 기하 부등식의 전반적인 일반성 연구를 가능하게 하기.
• 특수한 매끄럽지 않은 도메인으로 일반화된 투조의 결과를 포함하는 고유값의 변분적 특성화를 제공하기.
• 고유값 문제의 맥락에서 탈선한 몽헤-암페르 방정식 해의 정(regularity)을 조사하기.

제안 방법

• 볼록이고 경계에서 0인 함수에 대한 변분 최소값을 통해 몽헤-암페르 고유값을 정의: $\lambda[\Omega] = \inf \frac{\int_\Omega (-u)\det D^2u\,dx}{\int_\Omega (-u)^{n+1}\,dx}$.
• 경계에서 0인 볼록 함수의 클래스에서 최소화자를 증명하기 위해 변분법의 직접적 방법을 사용하기.
• 근사 및 안정성 논증을 통해 모든 $\beta \in (0,1)$에 대해 고유함수의 $C^{0,\beta}$ 정(regularity)을 확립하기.
• 경계점 근처의 확대 모델에서 가중 샤투르 추정을 사용하여 도메인 내부에서의 $C^{\infty}$ 정(regularity)을 증명하기.
• 확대 및 컴actness 논증을 적용하여 내부 정(regularity) 설정에서 고유함수가 경계까지 $C^{\infty}$임을 보여주기.
• 고유값이 도메인의 하우스도르프 수렴에 대해 안정적임을 이용하여, 브룬-민코프스키와 같은 기하 부등식을 일반 볼록체로 확장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 비매끄러울 경우일지라도 일반적인 유계 볼록 도메인에서 몽헤-암페르 고유값 문제는 볼록 함수의 클래스에서 고유한 해를 갖는가?
• RQ2 고유값의 변분적 특성화는 매끄럽고 균일하게 볼록인 도메인을 넘어서 일반 볼록 도메인으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ3 몽헤-암페르 고유값은 도메인의 하우스도르프 수렴에 대해 안정적인가? 이는 기하 부등식을 모든 볼록체로 확장할 수 있게 하는가?
• RQ4 일반 볼록 도메인에서 몽헤-암페르 고유함수의 최적 정(regularity)은 무엇인가? 특히 경계 근처에서 어떻게 되는가?
• RQ5 브룬-민코프스키 및 등주 부등식은 고유값에 대해 모든 볼록 도메인에 대해, $C^2_+$ 도메인에 국한되지 않고 전반적으로 성립하는가?

주요 결과

• 몽헤-암페르 고유값 $\lambda[\Omega]$ 는 $(-u)\det D^2u$ 와 $(-u)^{n+1}$의 적분 비율을 포함하는 변분 공식에 의해 존재하며, 고유하게 특성화된다.
• 고유함수 $u$ 는 양수 상수를 제외하고는 유일하며, 모든 $\beta \in (0,1)$에 대해 $C^{0,\beta}(\overline{\Omega})$ 에 속한다.
• 고유함수는 도메인 내부 $\Omega$ 에서 $C^{\infty}$ 이며, 적절한 조건 하에서는 경계까지 $C^{\infty}$ 이다.
• 차원 상수 $c(n), C(n)$ 에 대해 이중 추정식 $c(n)|\Omega|^{-2} \leq \lambda[\Omega] \leq C(n)|\Omega|^{-2}$ 이 성립한다.
• 고유값은 도메인의 하우스도르프 수렴에 대해 안정적이며, 이는 사라니의 브룬-민코프스키 부등식을 모든 유계 볼록 도메인으로 확장할 수 있게 한다.
• 결과는 매끄럽고 균일하게 볼록한 설정에서 리온스와 투조의 결과를 특이하고 비매끄러운 경우로 일반화하여 일반 볼록 도메인에 대한 완전한 고유값 이론을 수립한다.