[論文レビュー] The elliptic curve in the S-duality theory and Eisenstein series for Kac-Moody groups

Mikhail Kapranov|ArXiv.org|Jan 2, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 143

ひとこと要約

本稿は、弦理論におけるS双対性とKac-Moody群の幾何的イーゼンスタイン級数の間の数学的関係を確立する。曲線上に固定されたパラボリックGバンドルを持つ曲面の上での、洗練された生成関数を導入することで、アフィンワイル群の下での関数方程式を用いて楕円的性質を証明する。主な結果は、S双対性における普遍的ブローモー関数を、Kac-Moody特徴の変形として実現した、P¹におけるイーゼンスタイン-Kac-Moody級数としての明示的公式であり、パrametersはモチビック不変量とテートモチーフに関連している。

ABSTRACT

We establish a relation between the generating functions appearing in the S-duality conjecture of Vafa and Witten and geometric Eisenstein series for Kac-Moody groups. For a pair consisting of a surface and a curve on it, we consider a refined geometric function E (involving G-bundles with parabolic structures along the curve) which depends both on elliptic and modular variables. We prove a functional equation for E with respect to the affine Weyl group, thus establishing the elliptic behavior. When the curve is P^1, we calculate the Eisenstein-Kac-Moody series explicitly and it turns out to be a certain deformation of an irreducible Kac-Moody character, more precisely, an analog of the Hall-Littlewood polynomial for the affine root system. We also get an explicit formula for the universal blowup function for any simply connected structure group.

研究の動機と目的

• Vafa-WittenのS双対性における生成関数のモジュラー性および楕円的性質の概念的数学的基盤を提供すること。
• 生成関数における形式的変数qがなぜ楕円曲線をパラメータ化すると解釈されるべきかという基礎的問いを解消すること。
• 曲線上での固定された振る舞いをもつパラボリックGバンドルのモジュライ空間を通じて、Kac-Moody群のイーゼンスタイン級数の幾何的実現を確立すること。
• モチビック不変量と変形パrametersを用いて、任意の単連結ゲージ群に対してS双対性における普遍的ブローモー関数を計算すること。

提案手法

• 曲線Xに沿って固定された次数を持つパラボリックGバンドルのモジュライ空間の位相的不変量を符号化する生成関数EG(q, z)を導入する。
• 切り貼り公理に適合させるために、オイラー乗数ではなくモチビック測度（例えば有限体上での点数）を用いる。
• ワイル-カックの分母に類似した積をEGに掛けた後、EL = E ⊗Z L という相対アーベル多様体上のシータバンドルの正則セクションとなることを証明する。
• アフィングラスマンィアンとシューベルトセル分解を用いて、KX構造の次数を計算し、それらをルート系とパラホリック部分群に関連付ける。
• 関連構造の2番目のチェーン類を計算するために、パラホリック版のジンディキン＝カルペレヴィッチの公式を適用する。
• 生成関数を、Langlands双対群GLのアフィンルート系に対するホール＝リトルウッド型多項式と特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S双対性の生成関数FG(q)における形式的変数qがなぜ楕円曲線をパラメータ化すると解釈されるべきなのか？
• RQ2 パラボリックGバンドルのモジュライ空間の生成関数は、モジュラー性と楕円的性質の両方を示せるか？
• RQ3 S双対性における普遍的ブローモー関数の背後にある正確な数学的構造は何か？
• RQ4 Kac-Moody群のイーゼンスタイン級数は、曲面上のバンドルのモジュライを通じてどのように幾何的に実現できるか？
• RQ5 曲線がP¹の場合の生成関数の明示的形は何か？

主な発見

• X = P¹ およびS − X 上の固定されたGバンドルP◦に対して、生成関数EG,P◦(q, z)は、Langlands双対群GLのアフィンルート系に対するホール＝リトルウッド多項式と特定される。
• m = f = 0, d = 1 の普遍的ブローモーの場合の関数FG,Q(q)は、∑a∈L q−Ψ(a,a)/2 Lλ(a) ∏(n,α)∈b∆(a) (1 − qn)/(1 − L²qn) として明示的に与えられ、λ(a) = |b∆(a)| である。
• 生成関数FG,Q(q)は、S双対性における普遍的ブローモー関数として示され、曲面上の点のブローモーの下でのモジュライ空間との明確な関係が確立される。
• モチビック生成関数がEL上のシータバンドルのd乗の正則セクションであることが証明され、Kac-Moody群の整形式的表現と関連づけられる。
• EGがアフィンワイル群の下で満たす関数方程式により、楕円的性質が確認され、ジャコビ形式の一般化が得られる。
• 生成関数FG,Q(q)の明示的公式は、アフィングラスマンィアンのシューベルトセル分解と、パラホリック部分群上の有理セクションの次数計算を用いて導出される。