[論文レビュー] Motivic measures and stable birational geometry

Michael Larsen, Valery A. Lunts|ArXiv.org|Oct 23, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、複素数体上の代数的多様体のグロテンディーク環をアフィン線の類で割ったものと、安定有理同値類のモノイド環との間に基本的な同型を確立する。この同型はホッジ理論的不変量を用いて構成される。その後、特定の滑らかで射影的な表面（幾何的 genus ≥2）のモチビックゼータ関数が無理数であるようなモチビック測度を構成し、これによりカプランォフの予想（高次元多様体のモチビックゼータ関数の有理型に関する予想）を反証する。

ABSTRACT

We study the motivic Grothendieck group of algebraic varieties from the point of view of stable birational geometry. In particular, we obtain a counter-example to a conjecture of M. Kapranov on the rationality of motivic zeta-function.

研究の動機と目的

• グロテンディーク環の構造を安定有理同値類の観点から調査すること。
• カプランォフが高次元多様体に対して予想した、モチビックゼータ関数の有理型に関する予想を解決すること。
• 特定の表面のゼータ関数が有理でないようなモチビック測度を構成すること。
• アフィン線で割ったグロテンディーク環と、安定有理同値類のモノイド環との間に自然な同型を確立すること。

提案手法

• 多様体を局所的閉部分多様体に分割する関係を用いたグロテンディーク環 $K_0[\mathcal{V}_k]$ の使用。
• ホッジ理論的不変量を活用して、体 $\mathcal{H}$ に値をとるモチビック測度 $\mu$ の構成。
• 有理写像の分解に関する W\'lodarczyk の定理（滑らかな中心によるブ lows-up への分解）の応用。
• 多様体 $X^{(n)}$ の対称積におけるホッジ構造を用いて、$H^{2,0}(X)$ の対称冪を介して $h^{2n,0}$ を計算する。
• 混合ホッジ構造とヒルベルト多様体の分解定理を用いて、$P_g(X^{(n)}) = \binom{r+n-1}{r-1}$ が成り立つことを証明する（$r = P_g(X)$）。
• ハンケル行列式の消滅を用いたべき級数の有理型の判定基準を用いて、ゼータ関数の無理数性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カプランォフが曲線に対して予想したように、すべての滑らかで射影的な複素数体上の多様体について、モチビックゼータ関数が有理関数であるのでは、という問い。高次元への拡張が期待される。
• RQ2 グロテンディーク環 $K_0[\mathcal{V}_{\mathbb{C}}]$ は、安定有理同値類によって理解可能であろうか？
• RQ3 アフィン線 $\mathbb{A}^1$ の類が、グロテンディーク環における安定有理同値不変量を捉える核を生成するであろうか？
• RQ4 幾何的 genus $P_g \geq 2$ を持つ表面に対して、そのゼータ関数が無理数となるようなモチビック測度を構成可能であろうか？
• RQ5 ホッジ理論的不変量 $h^{2n,0}(X^{(n)})$ は、非有理ゼータ関数を区別するのに十分であろうか？

主な発見

• アフィン線で割ったグロテンディーク環 $K_0[\mathcal{V}_{\mathbb{C}}]$ は、$\mathbb{Z}[SB]$、すなわち安定有理同値類のモノイド環と同型である。
• 任意の複素数体上の滑らかで射影的な表面 $X$ について、幾何的 genus $P_g(X) \geq 2$ ならば、ゼータ関数 $\zeta_\mu(X,t)$ が有理でないようなモチビック測度 $\mu$ が存在する。
• 対称積 $X^{(n)}$ の幾何的 genus は $P_g(X^{(n)}) = \binom{P_g(X) + n - 1}{P_g(X) - 1}$ を満たし、これは $n$ に関して多項式的に増加する。
• べき級数の有理型は、十分大きな $m$ に対して $(n+1)$ 階のハンケル行列式が消えないことによって妨げられる。もしゼータ関数が有理的であったならば、これは矛盾を引き起こす。
• ヒルベルト多様体 $X^{[n]}$ のホッジ構造により、$h^{2n,0}(X^{[n]}) = h^{2n,0}(X^{(n)})$ であり、これは $\binom{r+n-1}{r-1}$ に等しい（$r = P_g(X)$）。
• $H^{2n,0}(X^{[n]})$ への寄与は $H^{2n,0}(X^{(n)})$ のみから生じるため、$P_g(X^{(n)})$ の公式が確認される。