[論文レビュー] A motivic version of Pellikaan's two variable zeta function

Francesco Baldassarri, Christopher Deninger+1 more|ArXiv.org|Feb 11, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、体 K 上の滑らかで射影的曲線に対して、Grothendieck 環の多様体における Lefschetz モチーフ L を有限体のサイズ q に置き換えることで、Pellikaan の古典的二変数 zeta 関数を一般化したモチービック二変数 zeta 関数を導入する。モチービック測度のもとで、このモチービック zeta 関数の有理型および関数等式を確立し、ジャコビアンの測度が非ゼロであるときかつそのときに限り、分子多項式が絶対的非可約であることを証明する。

ABSTRACT

Combining the idea of motivic zeta function, due to Kapranov, and Pellikaan's definition of a two- variable zeta function for curves over finite fields in the present note we introduce a motivic two- variable zeta function for curves over arbitrary fields and prove the generalizations of Pellikaan's results in this context.

研究の動機と目的

• 有限体上での Pellikaan の二変数 zeta 関数を、Grothendieck 環の多様体の枠組みへとモチービックな設定に拡張すること。
• 固定された次数および正則切断の次元に関するピック多様体のモチービック測度を用いて、モチービック zeta 関数を定義すること。
• 古典的有限体上での結果に類似した、モチービック zeta 関数の有理型および関数等式を確立すること。
• モチービック zeta 関数の分子多項式が絶対的非可約であるための必要十分条件として、ジャコビアン多様体の測度が非ゼロであることであることを証明すること。

提案手法

• T および u における形式的べき級数として、Grothendieck 環の多様体に値をとる係数を持つモチービック zeta 関数を定義し、正則切断の次元 ν に対する重み (u^ν - 1)/(u - 1) を持つ除数類の和をとる。
• 正則切断の個数がちょうど ν 個である線分束をパラメトライズする strata Picⁿ_ν による対称積 X^(n) の分解を用いる。
• 関係式 [X^(n)] = ∑_ν [Picⁿ_ν] (L^ν - 1)/(L - 1) を K₀(Var_K) で用い、モチービック zeta 関数をこれらの strata における和として表現する。
• モチービック積分を用いて、zeta 関数を A[[u]] 値をとる構成可能関数としてピック多様体上での積分として解釈する。
• zeta 関数が関数等式を満たし、かつ分子多項式 P_X,μ(T,u) が A[T,u] に属することを示すことにより、有理型を証明する。
• Clifford の定理を用いて Picⁿ_ν の台を制限し、分子多項式の次数が有界であることを保証し、非可約性の議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pellikaan の有限体上での二変数 zeta 関数は、Grothendieck 環の多様体におけるモチービック版に一般化可能か？
• RQ2 モチービック zeta 関数は、古典的 zeta 関数に類似した有理型性を満たすか？
• RQ3 モチービック zeta 関数の分子多項式の非可約性を保証する条件は何か？
• RQ4 モチービック zeta 関数の関数等式は、ジャコビアン多様体の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 ジャコビアンのモチービック測度は、zeta 関数の分子の非可約性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• モチービック zeta 関数 Z_X,μ(T,u) は有理型であり、Z_X,μ(T,u) = P_X,μ(T,u) / [(1 - T)(1 - uT)] を満たし、ある多項式 P_X,μ(T,u) ∈ A[T,u] が存在する。
• 関数等式 Z_X,μ(T,u) = u^{g-1} T^{2g-2} Z_X,μ(u^{-1} T^{-1}, u^{-1}) が成り立ち、古典的関数等式を一般化する。
• 分子多項式 P_X,μ(T,u) は、μ(Pic⁰_X/K) ≠ 0 であることと同値に絶対的非可約である。
• 分子における P_i(u) の次数は、Clifford の定理の結果として deg P_i(u) ≤ 1 + i/2 で有界である。
• 定数項 P_0(u) = 1 であり、最高次の項 P_{2g}(u) = u^g である。これは関数等式と整合的である。
• 非可約性の証明は、変換された多項式 F(T,u) = T^{2g} P_X,μ(T^{-1},u) の T に関する最高次の係数が A[T] 内で非可約であることを示すことにより行われ、係数は (1 - T)u^g + O(u^{g-1}) の形をとる。