[논문 리뷰] The enumerative geometry of rational and elliptic curves in projective space

Ravi Vakil|ArXiv.org|1997. 09. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고정된 선형 부분공간과 만날 것인 degree d의 유리 곡선 및 타원 곡선의 수를 세기 위한 재귀 공식을 개발한다. 이 곡선들은 주어진 중복도를 가진 초평면과 접선이 되며, 프로젝티브 공간 P^n에서 정의된다. 교차 이론을 Hilbert 스킴과 안정 사상의 모듈리 공간에서 적용하여 최상위 차수의 교차 곱을 계산함으로써 추상적 불변량을 도출한다. 이는 이전의 종수 0 및 종수 1 곡선에 대한 결과를 일반화한 것이다.

ABSTRACT

We study the geometry of varieties parametrizing degree d rational and elliptic curves in P^n intersecting fixed general linear spaces and tangent to a fixed hyperplane H with fixed multiplicities along fixed general linear subspaces of H. As an application, we derive recursive formulas for the number of such curves when the number is finite. These recursive formulas require as ``seed data'' only one input: there is one line in P^1 through two points. These numbers can be seen as top intersection products of various cycles on the Hilbert scheme of degree d rational or elliptic curves in P^n, or on certain components of $\mbar_0(P^n,d)$ or $\mbar_1(P^n,d)$, and as such give information about the Chow ring (and hence the topology) of these objects. The formula can also be interpreted as an equality in the Chow ring (not necessarily at the top level) of the appropriate Hilbert scheme or space of stable maps. In particular, this gives an algorithm for counting rational and elliptic curves in P^n intersecting various fixed general linear spaces. (The genus 0 numbers were found earlier by Kontsevich-Manin, and the genus 1 numbers were found for n=2 by Ran and Caporaso-Harris, and independently by Getzler for n=3.)

연구 동기 및 목표

• 고정된 선형 부분공간과 만날 것인 P^n에서의 유리 곡선 및 타원 곡선의 수를, 주어진 중복도를 가진 초평면과의 접선 조건을 만족하도록 세는 재귀 공식을 개발하는 것.
• Hilbert 스킴과 안정 사상의 모듈리 공간에서 최상위 차수의 교차 곱을 계산하여 추상적 불변량을 도출하는 것.
• 낮은 차원의 프로젝티브 공간에서 종수 0(Контсеевич-Манин) 및 종수 1(Ран, Капорасо-Харрис, Гецлер) 곡선 수에 대한 이전 결과를 통합하고 일반화하는 것.
• 모든 이러한 수를 재귀를 통해 생성할 수 있도록, 단 한 개의 초기 입력—P^1에서 두 점을 지나는 직선—만으로도 모든 계산을 가능하게 하는 프레임워크를 수립하는 것.
• 임의의 프로젝티브 공간에서 고정된 교차 및 접선 조건을 만족하는 곡선을 체계적으로 세는 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 P^n에서 degree d의 유리 곡선 또는 타원 곡선의 Hilbert 스킴, 또는 Mbar_0(P^n,d) 또는 Mbar_1(P^n,d)의 구성 요소에서 교차 이론을 적용한다.
• 선형 부분공간과의 교차 조건 및 중복도를 가진 초평면과의 접선 조건을 관련 모듈리 공간의 차수 링 안의 사이클로 모델링한다.
• 재귀적 구조는 안정 사상의 모듈리 공간에서 경계 스트라타의 기하학과 분해 기법에서 유래한다.
• 이 접근법은 이러한 곡선의 수가 특정 사이클 클래스의 최상위 차수 교차 수와 일치한다는 사실을 활용한다.
• 재귀는 기본 사례인 P^1에서 두 점을 지나는 한 직선을 초기 조건으로 사용한다.
• 공식들은 최상위 차수에선 반드시 성립하지 않는, 관련 모듈리 공간의 차수 링 안에서의 등식으로 해석된다. 이는 체계적인 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 고정된 선형 부분공간과 만나며, 주어진 중복도를 가진 초평면과 접선이 되는 P^n에서의 유리 곡선 및 타원 곡선을 체계적으로 세는가?
• RQ2 이러한 곡선 수를 지배하는 Hilbert 스킴 또는 안정 사상의 모듈리 공간의 차수 링의 구조는 어떠한가?
• RQ3 최소한의 초기 데이터만을 사용하여 이러한 추상적 불변량에 대한 재귀 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 이러한 결과는 낮은 차원의 프로젝티브 공간에서 종수 0 및 종수 1 곡선에 대한 알려진 공식을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 모듈리 공간에서의 교차 이론은 이러한 추상적 불변량을 계산하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 P^n에서 고정된 교차 및 접선 조건을 만족하는 유리 곡선 및 타원 곡선의 수를 세는 재귀 공식을 제공하며, 이는 단지 P^1에서 두 점을 지나는 직선이라는 기본 사례만을 초기 데이터로 요구한다.
• 이러한 곡선의 수가 Hilbert 스킴 또는 안정 사상의 모듈리 공간에서 사이클의 최상위 차수 교차 곱임을 보여준다.
• 공식들은 최상위 차수에선 반드시 성립하지 않는, 관련 모듈리 공간의 차수 링 안에서의 등식으로서 유효하다.
• 종수 0 곡선의 경우, 결과는 컨츠에비치-마닌 공식을 복원하고 일반화한다.
• 종수 1 곡선의 경우, 결과는 란, 카포라소-하리스, 겜츠러의 이전 작업을 n ≥ 2인 임의의 n에 대해 확장한다.
• 이 방법은 임의의 프로젝티브 차원에서 이러한 추상적 불변량을 계산하는 알고리즘적 절차를 제공한다.