[논문 리뷰] The Euler and Chinese Postman Problems on 2-Arc-Colored Digraphs

Bin Sheng, Ruijuan Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 20.

Advanced Graph Theory Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2-arc-색상화된 방향 그래프(CPP-2ACD)에서, 연속하는 간선이 서로 다른 색상이 되도록 색상이 잘 맞는(적절히 색상이 칠진) 산책로를 요구하는 중국 순찰사 문제를 다루며, 다항시간 알고리즘을 제시한다. 이 접근법은 적절히 색상이 칠진 올레르 트레일을 가진 2-arc-색상화된 방향 그래프의 특성 분석과 보조 그래프에서 최소비용 완전 매칭으로 문제를 환원함으로써, 이러한 그래프에서 적절히 색상이 칠진 사이클을 검출하는 것이 NP-완전임에도 불구하고 CPP-2ACD가 다항시간 내에 해결 가능하다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

The famous Chinese Postman Problem (CPP) is polynomial time solvable on both undirected and directed graphs. Gutin et al. [Discrete Applied Math 217 (2016)] generalized these results by proving that CPP on $c$-edge-colored graphs is polynomial time solvable for every $c\geq 2$. In CPP on weighted edge-colored graphs $G$, we wish to find a minimum weight properly colored closed walk containing all edges of $G$ (a walk is properly colored if every two consecutive edges are of different color, including the last and first edges in a closed walk). In this paper, we consider CPP on arc-colored digraphs (for properly colored closed directed walks), and provide a polynomial-time algorithm for the problem on weighted 2-arc-colored digraphs. This is a somewhat surprising result since it is NP-complete to decide whether a 2-arc-colored digraph has a properly colored directed cycle [Gutin et al., Discrete Math 191 (1998)]. To obtain the polynomial-time algorithm, we characterize 2-arc-colored digraphs containing properly colored Euler trails.

연구 동기 및 목표

• 무방향 및 방향 그래프에서 중국 순찰사 문제의 다항시간 해법을 2-arc-색상화된 방향 그래프로 확장하기.
• 2-arc-색상화된 방향 그래프에서 적절히 색상이 칠진 사이클을 검출하는 것이 NP-완전이지만, 중국 순찰사 문제가 여전히 다항시간 내에 해결 가능하다는 도전 과제를 다루기.
• 2-arc-색상화된 방향 그래프에서 적절히 색상이 칠진 올레르 트레일이 존재하는 데 필요한 필요충분조건을 제공하기.
• 보조 그래프에서 최소비용 완전 매칭으로 환원함으로써 CPP-2ACD를 다항시간 내에 해결하는 알고리즘을 개발하기.
• 2-edge-색상화된 무방향 그래프에서 Kotzig의 적절히 색상이 칠진 올레르 트레일의 특성 분석을 방향 그래프로 일반화하기.

제안 방법

• 적절히 색상이 칠진 올레르 트레일을 가진 2-arc-색상화된 방향 그래프를 특성화하기 위해 PC 트레일 연결성(PC trail-connectivity)의 개념을 도입한다.
• 2-arc-색상화된 방향 그래프가 적절히 색상이 칠진 올레르 트레일을 가질 조건은 PC 트레일 연결성과 색상 균형을 동시에 만족할 때임을 증명한다.
• 각 정점의 진입-간선 및 출발-간선 집합을 정점으로 하는 보조 이분 그래프 H를 구성하고, 간선은 최소비용 가능 적절히 색상이 칠진 트레일을 나타낸다.
• 모든 간선을 커버하는 최소비용 닫힌 산책로를 찾는 문제를 H에서 최소비용 완전 매칭을 계산하는 문제로 환원한다.
• Hungarian 알고리즘을 사용하여 O(|V(H)|³) 시간 내에 최소비용 완전 매칭을 해결함으로써 다항시간 복잡도를 보장한다.
• CPP-2ACD의 최적 해는 항상 H에서의 최소비용 완전 매칭과 대응되며, 반대로도 성립함을 보이며, 추가된 간선을 최소비용 가능 트레일로 분해함으로써 최적성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-arc-색상화된 방향 그래프에서 적절히 색상이 칠진 사이클을 검출하는 것이 NP-완전임에도 불구하고, 중국 순찰사 문제를 다항시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ2 어떤 구조적 조건이 2-arc-색상화된 방향 그래프에서 적절히 색상이 칠진 올레르 트레일의 존재를 보장하는가?
• RQ3 CPP-2ACD는 최소비용 완전 매칭과 같이 알려진 다항시간 내에 해결 가능한 문제로 환원될 수 있는가?
• RQ4 PC 올레르 2-arc-색상화된 방향 그래프의 특성 분석을 바탕으로 CPP-2ACD에 대한 효율적인 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 왜 2-arc-색상화된 방향 그래프에서 적절히 색상이 칠진 사이클을 검출하는 것이 NP-완전하더라도 중국 순찰사 문제가 다항시간 내에 해결 가능한가?

주요 결과

• 2-arc-색상화된 방향 그래프에서 중국 순찰사 문제(CPP-2ACD)는 이러한 그래프에서 적절히 색상이 칠진 사이클을 검출하는 것이 NP-완전임에도 불구하고 다항시간 내에 해결 가능하다.
• 2-arc-색상화된 방향 그래프가 적절히 색상이 칠진 올레르 트레일을 가질 조건은 PC 트레일 연결성과 색상 균형을 동시에 만족할 때이다.
• CPP-2ACD의 최적 해는 진입-간선 및 출발-간선 집합에서 구성된 보조 이분 그래프 H에서의 최소비용 완전 매칭과 대응된다.
• Hungarian 방법을 사용하여 O(|V(H)|³) 시간 내에 알고리즘이 실행되며, 다항시간 복잡도를 보장한다.
• 이 특성 분석은 2-edge-색상화된 무방향 그래프에서 Kotzig의 결과를 방향 그래프로 일반화한다.
• 추가된 간선을 최소비용 가능 트레일로 분해함으로써 해에서 중복된 사이클을 피하고 최적성을 보장한다.