[논문 리뷰] The excedances and descents of bi-increasing permutations

Astrid Reifegerste|ArXiv.org|2002. 12. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 321을 피하는 것으로 정의되는 양방향 증가 순열과 두 종류의 격자 경로인 평행사변형 폴리오미노와 2-Motzkin 경로 사이의 깊이 있는 조합적 연결을 수립한다. 양방향 증가 순열에서의 초월수와 초월수 차이의 공동 분포가 변환 (e, k) ↦ (n−1−e, n−1−2e+k) 에 대해 대칭임을 증명하고, 폴리오미노 변환과 역전 통계를 이용한 이분형 증명을 제공함으로써 문헌에 알려진 여러 이분형 사상들을 통합한다.

ABSTRACT

Starting from some considerations we make about the relations between certain difference statistics and the classical permutation statistics we study permutations whose inversion number and excedance difference coincide. It turns out that these (so-called bi-increasing) permutations are just the 321-avoiding ones. The paper investigates their excedance and descent structure. In particular, we find some nice combinatorial interpretations for the distribution coefficients of the number of excedances and descents, respectively, and their difference analogues over the bi-increasing permutations in terms of parallelogram polyominoes and 2-Motzkin paths. This yields a connection between restricted permutations, parallelogram polyominoes, and lattice paths that reveals the relations between several well-known bijections given for these objects (e.g. by Delest-Viennot, Billey-Jockusch-Stanley, Francon-Viennot, and Foata-Zeilberger). As an application, we enumerate skew diagrams according to their rank and give a simple combinatorial proof for a result concerning the symmetry of the joint distribution of the number of excedances and inversions, respectively, over the symmetric group.

연구 동기 및 목표

• 초월수와 초월수 차이가 일치하는 순열로 정의되는 양방향 증가 순열의 조합적 구조를 조사하는 것.
• 이 순열들에서 초월수와 내림차순 통계의 공동 분포를 탐구하는 것.
• 양방향 증가 순열과 평행사변형 폴리오미노 사이의 이분형 사상을 초월수 통계를 유지하는 방식으로 수립하는 것.
• 격자 경로와 폴리오미노의 공통 프레임워크를 통해 기존의 이분형 사상들(예: Delest-Viennot, Foata-Zeilberger)을 통합하는 것.
• 대칭군 Sₙ에서 초월수 수와 초월수 차이의 공동 분포에 대한 대칭성 성질을 증명하는 것.

제안 방법

• 양방향 증가 순열이 정확히 321을 피하는 순열임을 특성화하는 데 사용한다.
• 순열에서 단계 폴리오미노로, 그리고 그로부터 평행사변형 폴리오미노로의 변환을 순환 분해와 역전 추적을 통해 적용한다.
• 결과로 얻어진 평행사변형 폴리오미노의 대각선 길이 a₁,…,aₙ을 정의하여, 역전 반경의 크기 |[π]| 를 곱 a₁a₂⋯aₙ 로 계산한다.
• 평행사변형 폴리오미노에 대한 반사 인보리션을 사용하여 초월수와 초월수 차이의 공동 분포에서 대칭성을 증명한다.
• 양방향 증가 순열에서 초월수 차이 dexc(π) 가 역전 수 inv(π) 와 동일함을 이용한다.
• 기존의 이분형 사상들(예: Delest-Viennot, Françon-Viennot)을 활용하여 통계를 2-Motzkin 경로와 연결하고 조합적 해석을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양방향 증가 순열에서 초월수와 내림차순 사이의 정확한 조합적 관계는 무엇인가?
• RQ2 양방향 증가 순열에서 초월수 수와 초월수 차이의 공동 분포는 격자 경로를 통해 어떻게 해석할 수 있는가?
• RQ3 왜 양방향 증가 순열에서 초월수와 초월수 차이의 공동 분포에 대해 변환 (e, k) ↦ (n−1−e, n−1−2e+k) 가 성립하는가?
• RQ4 기존의 순열, 폴리오미노, 격자 경로 사이의 이분형 사상들은 통계 dexc 와 ddes 를 통해 하나의 프레임워크로 통합될 수 있는가?
• RQ5 역전 반경의 크기 |[π]| 와 관련된 평행사변형 폴리오미노의 대각선 길이 사이의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 양방향 증가 순열의 집합은 정확히 321을 피하는 순열의 집합과 일치한다.
• 모든 π가 양방향 증가 순열일 때 초월수 차이 dexc(π) 는 역전 수 inv(π) 와 같다.
• 양방향 증가 순열 π 에 대해 역전 반경의 크기 |[π]| 는 해당 평행사변형 폴리오미노의 대각선 길이의 곱 a₁a₂⋯aₙ 와 같다.
• 양방향 증가 순열에서 초월수 수와 초월수 차이의 공동 분포는 대칭성을 만족한다: Sₙ^(exc,dexc)(e,k) = Sₙ^(exc,dexc)(n−1−e, n−1−2e+k).
• 이 대칭성은 대각선 길이를 유지하고 통계를 적절히 교환하는 평행사변형 폴리오미노에 대한 반사 인보리션을 통해 증명된다.
• 이 결과는 대칭군 Sₙ 에서 초월수 수와 역전 수의 공동 분포에 대한 대칭성도 암시한다.