[논문 리뷰] The finite gap method and the analytic description of the exact rogue wave recurrence in the periodic NLS Cauchy problem. 1

P. G. Grinevich, P. M. Santini|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 18.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 45인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 간격 방법을 적용하여 주기적 NLS 초기값 문제에서 불안정 모드가 하나인 경우 암흑파의 정확한 재발을 해석적으로 기술한다. 해는 선형 및 비선형 조건부 불안정성 단계 사이를 결정적으로 번갈아가며, 각 비선형 단계는 초기 조건을 통해 기본 함수로 완전히 결정되는 매개변수를 가진 아크메디에프 1브리더 해로 정확히 기술된다.

ABSTRACT

The focusing NLS equation is the simplest universal model describing the modulation instability (MI) of quasi monochromatic waves in weakly nonlinear media, considered the main physical mechanism for the appearance of rogue (anomalous) waves (RWs) in Nature. In this paper we study, using the finite gap method, the NLS Cauchy problem for periodic initial perturbations of the unstable background solution of NLS exciting just one of the unstable modes. We distinguish two cases. In the case in which only the corresponding unstable gap is theoretically open, the solution describes an exact deterministic alternate recurrence of linear and nonlinear stages of MI, and the nonlinear RW stages are described by the 1-breather Akhmediev solution, whose parameters, different at each RW appearance, are always given in terms of the initial data through elementary functions. If the number of unstable modes is >1, this uniform in t dynamics is sensibly affected by perturbations due to numerics and/or real experiments, provoking O(1) corrections to the result. In the second case in which more than one unstable gap is open, a detailed investigation of all these gaps is necessary to get a uniform in $t$ dynamics, and this study is postponed to a subsequent paper. It is however possible to obtain the elementary description of the first nonlinear stage of MI, given again by the Akhmediev 1-breather solution, and how perturbations due to numerics and/or real experiments can affect this result.

연구 동기 및 목표

• 주기적 NLS 초기값 문제에서 암흑파의 정확한 재발을 유한 간격 방법을 사용하여 해석적으로 기술하기.
• 조직부 불안정성 단계 사이의 결정론적 번갈아가는 동역학을 특성화하기.
• 각 암흑파 발생 시 아크메디에프 1브리더 해의 매개변수를 명시적이고 기본 함수로 표현하기.
• 여러 불안정 모드가 존재할 경우 수치적 또는 실험적 교란에 의한 재발의 안정성 평가하기.
• 다수의 불안정 모드를 가진 일반적인 경우에 대한 암흑파 재발의 통합적 기술 기반 마련하기.

제안 방법

• 소규모이고 매끄럽고 평균이 0인 초기 편차를 가진 주기적 영역에서 NLS 초기값 문제를 해결하기 위해 유한 간격 방법을 적용한다.
• 스펙트럼 자료는 초기 편차의 푸리에 성분에서 유도되며, 종수 g=2인 리만 곡면 위의 제타 함수를 사용하여 해를 구성한다.
• 리우빌 토러스 상의 위상 이동을 추적함으로써 동역학을 분석하고, 재발을 위한 주기성 조건을 도출한다.
• 해가 위상 승수만 다를 뿐 다른 상태로 복귀할 때를 식별함으로써 재발 주기를 계산할 수 있다.
• 모든 불안정 모드를 자극하는 일반적인 초기 자료에 대해 매칭된 점근적 전개를 대안적 접근으로 제안한다.
• 유한 간격 표현식에서 스펙트럼 매개변수와 초기 조건을 포함한 재발 주기 $T_p$, 공간 이동 $ abla x$, 위상 증가 $ ho$에 대한 핵심 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적 NLS 초기값 문제에서 암흑파의 정확한 재발을 유한 간격 방법을 사용하여 해석적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 각 암흑파 발생 시 아크메디에프 1브리더 해의 매개변수는 초기 조건으로부터 어떻게 결정되는가?
• RQ3 열린 불안정 간격의 수가 재발 동역학의 안정성과 균일성에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 여러 불안정 모드가 존재할 경우 수치적 또는 실험적 교란은 결정론적 재발에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 모든 시간 간격에서 기본 함수를 사용하여 재발 동역학을 균일하게 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 단일 불안정 모드의 경우, 해는 선형 및 비선형 조건부 불안정성 단계 사이를 결정적으로 번갈아가며 재발한다.
• 각 비선형 단계는 아크메디에프 1브리더 해로 정확히 기술되며, 매개변수는 초기 조건을 통해 기본 함수로 계산된다.
• 재발 주기 $T_p$ 는 $T_p = \frac{1}{\sigma_n} \log\left[\frac{\sigma_n^4}{4|\alpha_n\beta_n|}\right]$ 로 주어지며, 이는 유한 간격 스펙트럼 자료에서 유도된다.
• 공간 이동 $\Delta_x = \frac{\arg(\alpha_n\beta_n)}{k_n}$ 과 위상 증가 $\rho = 2T_p + 4\phi_n$ 는 초기 조건에서 명시적으로 계산된다.
• 여러 불안정 모드가 존재할 경우, $O(1)$ 정도의 교란으로 인해 균일한 동역학이 파괴되며, 더 복잡한 분석이 필요하다.
• 제타 함수의 주기성에 의해 해의 주기성이 위상 승수까지 확정되며, $u(x+\Delta_x, t+T_p) = \exp(i\rho)u(x,t)$ 로 확인된다.