[논문 리뷰] The football player and the infinite series

Harold P. Boas|arXiv (Cornell University)|1997. 06. 25.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 17인용 수 50

한 줄 요약

이 논문은 디리클레 급수의 수렴 성질을 조사하며, 특히 균일 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 영역의 존재성과 최대 폭을 중심으로 다룬다. 복소해석학과 경로적분을 이용하여 저자는 이러한 영역의 최대 폭가 1/2임을 증명하고, 교대 리만 제타 급수와 리만 제타 함수와의 조합과 같은 구체적인 예를 제시함으로써 0에서 1/2 사이의 임의의 폭이 달성 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

This is the text of an expository talk given at the May 1997 Detroit meeting of the American Mathematical Society. It is a tale of a famous football player and a subtle problem he posed about the uniform convergence of Dirichlet series. Hiding in the background is the theory of analytic functions of an infinite number of variables.

연구 동기 및 목표

• 디리클레 급수가 균일하게 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 복소평면 내 수직 스트립의 최대 가능 폭을 결정하는 것.
• 절대 수렴 영역을 초월하여 반평면에서 디리클레 급수가 균일하게 수렴하는 조건을 설정하는 것.
• 임의로 주어진 폭이 (0, 1/2) 사이인 균일하지만 절대 수렴하지 않는 수렴 스트립을 갖는 디리클레 급수의 존재를 보여주는 것.
• 세사로 평균과 경로적분을 이용한 구조적 방법을 제공하여 리만 제타 함수와 같은 해석적 함수의 수렴 영역을 확장하는 것.
• 하랄트 보어의 기초적인 작업을 바탕으로 오랫동안 남아 있던 디리클레 급수의 균일 수렴 스트립의 최극 폭 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 함수와 그 부분 디리클레 급수의 부분합 사이의 차이를 유계화하기 위해 복소평면에서의 경로적분을 적용한다.
• 정점이 s ± a − b ± iM/(a−b+ε)인 직사각형 경로를 사용하여 부분합의 기여를 나머지 항과 분리한다.
• 경로의 왼쪽, 위, 아래, 오른쪽 변을 따라 적분을 추정하며, 나머지 항이 O(M^{−ε} log M)로 유계임을 보인다.
• n ≤ M인지 n > M인지에 따라 경우를 나누어 경로를 따라 (M+1)^{z−s}/n^{z−s}의 적분을 평가한다.
• n > M인 경우, 경로를 무한대까지 변형하고 지수 감쇠를 이용하여 적분을 O(1/M)로 유계화한다.
• n ≤ M인 경우, z = s에서의 잔여물을 이용해 부분합을 추출하고 기하급수 감쇠를 통해 나머지 적분을 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디리클레 급수가 균일하게 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 수직 스트립의 최대 폭은 얼마인가?
• RQ2 임의의 주어진 폭이 (0, 1/2)에 속하는 균일하지만 절대 수렴하지 않는 수렴 스트립을 갖는 디리클레 급수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 디리클레 급수의 균일 수렴은 리만 제타 함수와 같은 함수의 해석적 계속성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 세사로 평균은 발산하거나 조건수렴하는 디리클레 급수의 수렴 영역을 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 경로적분 기법을 얼마나 활용하여 수렴의 abscissa 오른편의 반평면에서 디리클레 급수의 균일 수렴을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 디리클레 급수가 균일하게 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 영역의 최대 폭은 1/2이다.
• 구간 (0, 1/2)에 속하는 임의의 실수 κ에 대해, 균일하지만 절대 수렴하지 않는 수렴 스트립의 폭이 정확히 κ인 디리클레 급수가 존재한다.
• 교대 디리클레 급수 ∑(−1)^{n+1}/n^s 는 Re(s) > 0 에서 조건수렴하며, 임의의 반평면 Re(s) ≥ ε > 0 에서 균일 수렴한다.
• (1 − 2^{1−s})^{-1} ∑(−1)^{n+1}/n^s 는 리만 제타 함수를 Re(s) > 0 로의 매끄러운 해석적 계속성으로서 기능한다.
• 함수 f(s)와 그 부분 디리클레 급수 ∑_{n=1}^M b_n / n^s 사이의 차이는 Re(s) ≥ b + ε 일 때 항상 O(M^{−ε} log M)로 유계이다.
• 구성법 f(s) + ζ(s + κ) 는 정확히 폭 κ의 균일하지만 절대 수렴하지 않는 수렴 스트립을 얻으며, 이는 1/2 유계의 날카로움을 증명한다.