[論文レビュー] The fractional - order controllers: Methods for their synthesis and application

Ivo Petráš|ArXiv.org|Apr 11, 2000

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 210

ひとこと要約

本稿では、分数階制御系における制御性能の向上を目的として、分数階制御器（例：PI^λD^δ）を合成するための修正された根궤적法を提案する。整数階系に近似するのではなく、非整数階動的特性を直接制御器設計に組み込むことで、安定性、減衰性、ロバスト性が向上し、シミュレーションにより整数階PID制御器と比較して応答が速く、オーバーシュートが低減していることが示された。

ABSTRACT

This paper deals with fractional-order controllers. We outline mathematical description of fractional controllers and methods of their synthesis and application. Synthesis method is a modified root locus method for fractional-order systems and fractional-order controllers. In the next section we describe how to apply the fractional controller on control systems.

研究の動機と目的

• 制御器設計の過程で分数階系を整数階モデルに近似することによる制限を解消すること。
• 分数階系の真の動的特性に適合する分数階制御器（例：PI^λD^δ）を体系的に合成するための手法を開発すること。
• 非整数階動的特性を有する系における制御性能、安定性、ロバスト性を向上させること。
• 分数階微積分の数値的・解析的ツールを用いた実用的な分数階制御器設計フレームワークを提供すること。

提案手法

• 制御器およびプラントの伝達関数に非整数階微分および積分を扱えるように、古典的根궤적法を分数階系に拡張する。
• 数値計算にリーマン＝リウヴィルおよびグリーンワルドの分数階微分定義を用い、計算負荷を低減するため「短記憶」原理を適用する。
• 分数階微分方程式の解析的解法に分数階微分のラプラス変換およびミタグ＝レフラー関数を用いる。
• ラプラス変数の分数階累乗を含む一般化された特性方程式（14）を導出し、複素平面で解くことで制御器パラメータを決定する。
• グリーンワルドの公式から導かれる二項係数を用いた離散時間制御アルゴリズムを採用し、分数階制御器を数値的に実装する。
• 分数階系における単位ステップ応答のシミュレーションを実施し、分数階制御器と整数階制御器を比較して手法の有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正された根궤적法は、分数階系に適用して分数階制御器を設計するのに有効であるか？
• RQ2 分数階系に直接設計を行うことで、整数階近似に基づく制御器設計に比べて優れた制御性能が得られるか？
• RQ3 分数階制御器（例：PI^λD^δ）は、標準的な整数階PID制御器と比較して、安定性および減衰特性をどのように改善するか？
• RQ4 非整数階微分および積分の次数が、システムのロバスト性および過渡応答に与える影響は何か？
• RQ5 「短記憶」原理および二項係数の再帰関係を用いることで、分数階制御器の数値実装を効率化できるか？

主な発見

• K=20.5、T_d=5.79、δ=0.95の分数階PD^δ制御器は、元の分数階系において整数階PD制御器よりも優れた過渡応答を達成した。
• 整数階近似モデルに基づいて設計された整数階PD制御器は、真の分数階系に適用した際、顕著なオーバーシュートと遅い収束を示し、望ましい性能を達成できなかった。
• 分数階制御器はオーバーシュートを低減し、システムの安定化をより迅速に実現し、閉ループ系における優れた動的特性を示した。
• 分数階制御器の使用により、システムおよび制御器のパrameter変動に対してより敏感でないため、より高いロバスト性が得られた。
• シミュレーション結果から、分数階系を整数階モデルに近似して制御器設計を行うと、性能が不十分になることが確認され、直接的な分数階制御器合成の必要性が裏付けられた。
• 提案手法は、所望の安定性および減衰特性を満たすために、複素平面で一般化された特性方程式（14）を解くことにより、制御器パラメータ（K、T_d、δ、T_i、λ）を効果的に決定できた。