[논문 리뷰] The Fundamental Theorem of Utility Maximization and Num\'eraire Portfolio

Tahir Choulli, Jun Deng외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 시장에서 기초적인 유틸리티 최적화 정리(FTUM)를 재구성하여 비상환 조건을 약화시키고 등가 확률 측도 하에서 유틸리티 최적화를 확장한다. 무한한 수익을 얻을 수 없는 조건, 수단 자산 포트폴리오의 존재, 유틸리티 최적화의 해가 존재하는 조건 사이의 동치성을 확립함으로써, 불완전 시장에서의 시장 타당성에 대해 강력하고 기술적으로 단순화된 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The fundamental theorem of utility maximization (called FTUM hereafter) says that the utility maximization admits solution if and only if there exists an equivalent martingale measure. This theorem is true for discrete market models (where the number of scenarios is finite), and remains valid for general discrete-time market models when the utility is smooth enough. However, this theorem --in this current formulation-- fails in continuous-time framework even with nice utility function, where there might exist arbitrage opportunities and optimal portfolio. This paper addresses the question how far we can weaken the non-arbitrage condition as well as the utility maximization problem to preserve their complete and strong relationship described by the FTUM. As application of our version of the FTUM, we establish equivalence between the No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk condition, the existence of num\'eraire portfolio, and the existence of solution to the utility maximization under equivalent probability measure. The latter fact can be interpreted as a sort of weak form of market's viability, while this equivalence is established with a much less technical approach. Furthermore, the obtained equivalent probability can be chosen as close to the real-world probability measure as we want (but might not be equal).

연구 동기 및 목표

• 부드러운 유틸리티 함수가 존재함에도 불구하고 고전적 FTUM가 연속시간 모델에서 실패하는 문제를 해결하기 위해.
• 표준 비상환 조건보다 더 약한 조건을 도입하면서도 유틸리티 최적화와 등가 마링갈 측도 사이의 강력한 관계를 유지하기 위해.
• 최소한의 기술적 가정으로 연속시간 설정에서 유효한 더 일반적인 FTUM의 새로운 버전을 수립하기 위해.
• 무한한 수익을 얻을 수 없는 조건, 수단 자산 포트폴리오의 존재, 등가 확률 측도 하에서 유틸리티 최적화의 해가 존재하는 조건 사이의 동치성을 보여주기 위해.
• 등가 확률 측도를 실제 세계 측도에 임의로 가까이 선택할 수 있음을 보여주되, 반드시 동일하지는 않다.

제안 방법

• 기존 비상환 조건보다 더 약한 일반화된 비상환 조건을 도입하여 연속시간 모델과 호환되도록 한다.
• 해의 존재를 보장하기 위해 측도 변화를 이용한 유틸리티 최적화 문제의 변환을 적용한다.
• 시장 타당성과 유틸리티 최적화를 연결하는 핵심 도구로 수단 자산 포트폴리오 개념을 활용한다.
• 실제 세계 측도에 임의로 가까운 등가 확률 측도를 사용함으로써 실용적 관련성을 높인다.
• 스토크라스틱 미적분과 마링갈 이론을 활용하지만, 이전 접근법보다 기술적 복잡도가 감소한다.
• 세 가지 핵심 금융 조건—무한한 수익을 얻을 수 없는 조건, 수단 자산 포트폴리오의 존재, 유틸리티 최적화의 해 존재성—간의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 FTUM는 표준 수식에서 실패하는 연속시간 시장으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 연속시간에서 유틸리티 최적화와 등가 마링갈 측도 사이의 이중성 관계를 유지하는 더 약한 비상환 조건은 무엇인가?
• RQ3 수단 자산 포트폴리오의 존재는 등가 측도 하에서 유틸리티 최적화의 해 존재성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 유틸리티 최적화에서 사용하는 등가 확률 측도가 실제 세계 측도와 얼마나 가까이 맞출 수 있는가?
• RQ5 수단 자산 포트폴리오 프레임워크를 통해 더 기술적으로 단순화된 시장 타당성 증명을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 비상환 조건이 무한한 수익을 얻을 수 없는 조건으로 약화될 경우, 일반화된 FTUM는 연속시간 모델에서 성립한다.
• 수단 자산 포트폴리오의 존재는 등가 확률 측도 하에서 유틸리티 최적화 문제의 해가 존재하는 것과 동치이다.
• 해를 구하는 데 사용된 등가 확률 측도는 실제 세계 확률 측도에 임의로 가까이 선택할 수 있지만, 반드시 동일하지는 않다.
• 무한한 수익을 얻을 수 없는 조건, 수단 자산 포트폴리오의 존재, 유틸리티 최적화의 해 존재성 사이의 동치성은 최소한의 기술적 가정 하에서도 성립한다.
• 제안된 프레임워크는 수학적으로 타당하고 실용적으로 해석 가능한 약한 형태의 시장 타당성을 제공한다.
• 기존 방법에 비해 기술적 복잡도가 크게 감소하여 접근성과 적용 가능성 모두 향상된다.