[논문 리뷰] The Galois module structure of l-adic realizations of Picard 1-motives and applications

Cornélius Greither, Cristian D. Popescu|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄럽고 사영적인 곡선에 대한 G-Galois 쌍대 덮개와 관련된 Picard 1-모티브의 ℓ-진 실현이 G-코homologically 비특이적이며, 따라서 ℤℓ[G]-프로젝티브임을 증명한다. 새로운 코homological 비특이성 결과를 증명하고 이를 이용해 유한체 위의 산술적 설정에서 Fitting 이상의 등식을 도출하며, 전통적인 L함수의 특수값에 대한 추측들을 정교화한다.

ABSTRACT

We show that the l-adic realizations of certain Picard 1-motives associated to a G-Galois cover of smooth, projective curves defined over an algebraically closed field are G-cohomologically trivial, for all primes l. In the process, we generalize a well-known theorem of Nakajima on the Galois module structure of certain spaces of Kahler differentials associated to the top curve of the cover, assuming that the field of definition is of characteristic p. If the cover and the Picard 1-motive are defined over a finite field and if G is abelian, we compute the first Fitting ideal of each l-adic realization over a certain profinite l-adic group algebra in terms of an equivariant Artin L-function. This is a refinement of earlier work of Deligne and Tate on Picard 1-motives associated to global function fields. As a consequence, we prove refined versions of the Brumer-Stark and the (étale) Coates-Sinnott Conjectures for global function fields. In upcoming work, we use these results to prove several other conjectures on special values of global L-functions in characteristic p. Also, we prove analogous results in characteristic 0, where the l-adic realizations of Picard 1-motives will be replaced by a new class of Iwasawa modules.

연구 동기 및 목표

• G-Galois 덮개와 관련된 Picard 1-모티브의 ℓ-진 실현의 갈루아 모듈러 구조를 규명하는 것.
• 카르티에 연산자의 작용 하에서 미분형식의 단순성 부분의 갈루아 모듈러 구조에 대한 나카지마의 정리에 대한 새로운 증명을 제공하는 것.
• 유한체 위의 산술적 설정에서 Fitting 이상의 등식을 확립하여 ℓ-진 실현과 G-동차 L함수를 연결하는 것.
• 전통적인 전역 L함수의 특수값에 대한 추측, 특히 Brumer-Stark 및 Coates-Sinnott 추측을 정교화하는 것.

제안 방법

• Picard 1-모티브의 n- torsion 점을 새로운 방식으로 해석하여 그 갈루아 모듈러 구조를 분석하는 것.
• ℓ-군인 경우, ℓ- torsion 모듈러가 자유 모듈러임을 증명하고, 몫 곡선의 종수와 하세-위트 불변량을 이용해 그 계수를 계산하는 것.
• 카르티에 연산자의 핵과 특정 극을 가진 미분형식의 공간 사이에 자연스러운 동형사상을 확립하는 것.
• ℓ-진 실현의 코homological 비특이성을 활용하여 Fitting 이상을 G-동차 L함수의 특수값과 연결하는 것.
• 델리뉴, 타이트, 버텔로, 블로흐, 일루시에의 결과를 응용하여 에테ール 및 크리스탈린 코homology를 모듈러 구조와 연결하는 것.
• 프로베누스 사상으로서 위상적 생성자를 정의하고, 이를 통해 L함수와 Iwasawa 대수 안에서 Fitting 이상을 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Picard 1-모티브의 ℓ-진 실현이 갈루아 모듈러로서 코homologically 비특이적일 조건은 무엇인가?
• RQ2 Picard 1-모티브의 ℓ- torsion 갈루아 모듈러 구조는 몫 곡선의 종수와 하세-위트 불변량과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 카르티에 연산자의 작용에 대한 나카지마의 정리가 Picard 1-모티브의 구조로부터 유도될 수 있는가?
• RQ4 유한체 위의 산술적 설정에서, ℓ-진 실현의 Fitting 이상과 G-동차 L함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 결과들은 전통적인 Brumer-Stark 및 Coates-Sinnott 추측을 어떻게 정교화하는가?

주요 결과

• 모든 소수 ℓ에 대해, Picard 1-모티브의 ℓ-진 실현 $ T_{\rho}(\rho_{\rho,\rho}) $ 는 $ G $-코homologically 비특이적이며, 따라서 $ \mathbb{Z}_{\ell}[G] $-프로젝티브이자 유한 차수이다.
• G가 ℓ-군인 경우, $ \ell $- torsion 모듈러 $ \mathcal{M}_{\mathcal{S},\mathcal{T}}[\ell] $ 는 $ \mathbb{F}_{\ell}[G] $ 위에서 자유 모듈러이며, 그 계수는 $ \gamma_{Z'} - 1 + |\mathcal{S}'| $ 이다. 여기서 $ \gamma_{Z'} $ 는 $ Z' $ 의 종수이다.
• ℓ = \text{char}(\kappa) = p 인 경우, 계수는 $ Z' $ 의 하세-위트 불변량으로 주어지며, 이 결과는 나카지마의 정리를 특수한 경우로 포함한다.
• Iwasawa 대수 $ \mathbb{Z}_{\ell}[[\overline{G}]] $ 위에서 $ \ell $-진 실현 $ T_{\ell}(M_{\mathcal{S},\mathcal{T}}) $ 의 Fitting 이상은 $ \Theta_{\mathcal{S},\mathcal{T}}(\gamma^{-1}) $ 가 생성하는 이상과 같다. 여기서 $ \gamma $ 는 프로베누스 사상이다.
• 모든 소수 ℓ에 대해 등식 $ (\Theta_{\mathcal{S},\mathcal{T}}(\gamma^{-1})) = \text{Fit}_{\mathbb{Z}_{\ell}[[\overline{G}]]}(T_{\ell}(M_{\mathcal{S},\mathcal{T}})) $ 이 성립하며, 델리뉴와 타이트의 ℓ-진 실현에 대한 결과를 정교화한다.
• 이 결과들은 특수값 $ \Theta_{\mathcal{S},\mathcal{T}}(u) $ 를 이상군 불변량과 에테ール 코homology 군에 연결함으로써, Brumer-Stark 및 Coates-Sinnott 추측과 같은 전통적 추측들을 갈루아-동차적으로 정교화한다.