[논문 리뷰] The Generalised Discrete Algebraic Riccati Equation in LQ optimal control

Augusto Ferrante, Lorenzo Ntogramatzidis|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 18.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한 시간 영역 선형-제곱형(LQ) 최적 제어에서 일반화된 이산 대수 Riccati 방정식(GDARE)의 기하학적 분석을 제공하며, GDARE 해와 무관하게 닫힘 루프 동역학을 지배하는 중요한 부분공간 ${\cal R}_0$를 규명한다. 해가 안정화 가능한 GDARE 해가 존재하지 않을 경우, 피드백 법칙에서의 자유도를 통해 추가 항을 통해 안정화가 가능함을 보이며, 이는 비정규 케이스에서도 최적 제어를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper investigates the properties of the solutions of the generalised discrete algebraic Riccati equation arising from the solution of the classic infinite-horizon linear quadratic control problem. In particular, a geometric analysis is used to study the relationship existing between the solutions of the generalised Riccati equation and the output-nulling subspaces of the underlying system and the corresponding reachability subspaces. This analysis reveals the presence of a subspace that plays an important role in the solution of the related optimal control problem, which is reflected in the generalised eigenstructure of the corresponding extended symplectic pencil. In establishing themain results of this paper, several ancillay problems on the discrete Lyapunov equation and spectral factorisation are also addressed and solved.

연구 동기 및 목표

• 무한 시간 영역 LQ 최적 제어에서 발생하는 일반화된 이산 대수 Riccati 방정식(GDARE)의 구조적 성질을 분석하는 것.
• GDARE 해와 출력 제거 부분공간, 도달 가능성 부분공간, 확장된 심플렉틱 피벗 간의 관계를 조사하는 것.
• GDARE 해와 무관하게 닫힘 루프 동역학을 지배하는 핵심 부분공간 ${\cal R}_0$를 규명하는 것.
• 안정화 가능한 GDARE 해가 존재하지 않을 경우에도 최적 제어를 달성할 수 있는 조건을 수립하는 것.
• Moore-Penrose 가역행렬이 GDARE 수식에 어떻게 작용하는지 이해하기 위한 기하학적 및 스펙트럼적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 기하학적 분석을 통해 시스템의 출력 제거 부분공간과 도달 가능성 부분공간에 대한 GDARE 해를 연결한다.
• 확장된 심플렉틱 피벗의 일반화된 고유구조를 분석하여 ${\cal R}_0$가 닫힘 루프 동역학에서 수행하는 역할을 규명한다.
• $R_X = R + B^T X B$라는 용어를 도입하고, 그의 핵과 상부를 연구하여 해의 행동을 특성화한다.
• 스펙트럼 인수분해를 적용하고, 주요 결과를 뒷받침하기 위해 이산 라플라스 방정식의 보조 문제를 해결한다.
• $u_k = -K_X x_k + G_X v_k$ 형태의 상태 피드백을 유도하며, 여기서 $G_X = (I - R_X^\flat R_X)$이며, $v_k$는 자유도를 제공한다.
• 해가 안정화 가능하지 않은 경우에도 $L$을 통해 $A_{\rm CL} = A_X + B G_X L$ 형태의 닫힘 루프 행렬을 안정화할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 이산 대수 Riccati 방정식의 해와 출력 제거 부분공간, 도달 가능성 부분공간 사이의 기하학적 관계는 무엇인가?
• RQ2 안정화 가능한 GDARE 해가 존재하지 않을 경우, 부분공간 ${\cal R}_0$는 닫힘 루프 동역학에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 닫힘 루프 행렬의 스펙트럼이 ${\cal R}_0$에 제한되었을 때, 이는 확장된 심플렉틱 피벗의 일반화된 고유구조와 어떻게 분리되어 있는가?
• RQ4 안정화 가능한 GDARE 해가 존재하지 않을 경우, 안정화 피드백을 어떻게 구성할 수 있으며, 그 방법은 무엇인가?
• RQ5 Moore-Penrose 가역행렬은 $R + B^T X B$가 특이행렬일 경우 최적성 보장을 위해 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 특정 제약 조건이 붙은 일반화된 이산 대수 Riccati 방정식(CGDARE)의 해와 무관하게 존재하는 부분공간 ${\cal R}_0$가 있으며, ${\cal R}_0$에 제한된 닫힘 루프 동역학은 모든 해에 대해 동일하다.
• ${\cal R}_0$에 제한된 닫힘 루프 행렬의 스펙트럼은 확장된 심플렉틱 피벗의 일반화된 고유구조에 반영되지 않으며, 이는 숨겨진 구조적 불변성을 시사한다.
• 확장된 심플렉틱 피벗이 비정규일 경우(즉, ${\cal R}_0 \neq \{0\}$일 경우), 안정화 가능한 GDARE 해가 존재하지 않더라도 피드백 법칙의 자유도 덕분에 안정화가 가능하다.
• 최적 제어는 $u_k = -K_X x_k + G_X v_k$ 형태로 표현되며, 여기서 $G_X = (I - R_X^\flat R_X)$이고, $v_k$는 닫힘 루프 시스템을 안정화하기 위한 조정 가능한 성분을 제공한다.
• 비용 $J^* = x_2^2(0)$는 피드백의 $L$에 대한 다양한 선택에 대해 불변이며, 이는 모든 이러한 닫힘 루프 시스템이 최적임을 확인한다.
• 논문은 모든 최적 닫힘 루프 행렬의 집합이 $A_{\rm CL} = A_X + B G_X L$로 매개변수화되며, 이는 영행렬 또는 멱등행렬을 포함하되, 이는 안정화 가능한 행렬임을 규명한다.