[논문 리뷰] The generalized Berger-Wang formula and the spectral radius of linear cocycles

Ian D. Morris|ArXiv.org|2009. 06. 16.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 14인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 다중ergodic 이론을 사용하여 바나흐 공간 위의 유계 선형 연산자들의 연속 스펙트럼 반경에 대한 일반화된 Berger-Wang 공식을 수립한다. 연속 스펙트럼 반경이 스펙트럼 반경과 비준엄한 측도의 비준엄한 반경의 최댓값과 같음을 증명하며, 또한 유한 차원 근사 노름에 기반한 스펙트럼 반경이 비준엄한 측도의 비준엄한 반경에 기반한 스펙트럼 반경과 같음을 보여준다.

ABSTRACT

Using multiplicative ergodic theory we prove two formulae describing the relationships between different joint spectral radii for sets of bounded linear operators acting on a Banach space. In particular we recover a formula previously proved by V. S. Shulman and Yu. V. Turovski\uı using operator-theoretic ideas. As a byproduct of our method we answer a question of J. E. Cohen on the limiting behaviour of the spectral radius of a measurable matrix cocycle.

연구 동기 및 목표

• 기존의 클래식한 Berger-Wang 공식을 바나흐 공간 위의 유계 선형 연산자로 확장하여 행렬의 경우를 일반화한다.
• 무한 차원 설정에서 연속 스펙트럼 반경과 연산자 곱의 스펙트럼 반경 사이의 관계를 수립한다.
• J. E. Cohen가 제기한 가측 행렬 코어시클의 스펙트럼 반경의 점근적 행동에 대한 질문을 해결한다.
• 유한 차원 근사 노름에 기반한 연속 스펙트럼 반경이 비준엄한 측도의 비준엄한 반경에 기반한 연속 스펙트럼 반경과 같음을 증명한다.

제안 방법

• 무한 차원 연산자의 수열 공간 위의 기호 동역계 위에서 하향적 코어시클을 분석하기 위해 다중ergodic 이론을 사용한다.
• 하향적 에르고딕 정리를 적용하여 연속 스펙트럼 반경을 코어시클의 리아풀로프 지수로 유도한다.
• 일반화된 Krylov-Bogolioubov 정리를 사용하여 컴팩트한 곱 공간 위의 불변 측도의 존재를 보장한다.
• 불변 측도 위에서 리아풀로프 지수의 최대값을 통한 일반화된 Berger-Wang 공식을 활용한다.
• 하향적 함수 수열에 대한 정리 3.1을 적용하여 연산자 노름의 상한과 불변 측도 위의 적분 간의 관계를 설정한다.
• 비준엄한 측도의 비준엄한 반경과 유한 차원 근사 노름 사이의 부등식을 이용하여 두 스펙트럼 반경의 등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식한 Berger-Wang 공식은 바나흐 공간 위의 유계 선형 연산자로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 연속 스펙트럼 반경, 곱의 스펙트럼 반경, 비준엄한 측도 기반 스펙트럼 반경 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 유한 차원 근사 노름에 기반한 스펙트럼 반경은 비준엄한 측도의 비준엄한 반경에 기반한 스펙트럼 반경과 같은가?
• RQ4 J. E. Cohen가 고려한 가측 행렬 코어시클의 스펙트럼 반경의 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ5 무한 차원 설정에서 일반화된 Berger-Wang 공식이 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 바나흐 공간 위의 유계 선형 연산자들의 전결합 집합에 대한 연속 스펙트럼 반경은 곱의 스펙트럼 반경과 비준엄한 측도 기반 스펙트럼 반경의 최댓값과 같다.
• 전결합 연산자 집합에 대해, 유한 차원 근사 노름에 기반한 스펙트럼 반경은 비준엄한 측도 기반 스펙트럼 반경과 같다.
• 이 증명은 J. E. Cohen가 제기한 가측 행렬 코어시클의 스펙트럼 반경의 점근적 행동에 대한 질문을 해결한다.
• 이전의 조건부 결과를 확장하여, 전결합 집합에 대해 일반화된 Berger-Wang 공식은 조건 없이 성립한다.
• 이 방법은 컴팩트 쿼지닐포텐트 연산자들의 세미군에 대한 비자명한 불변 부분공간의 존재를 짧게 증명한다.
• 역사례를 통해, 연산자 집합이 유계이지만 전결합이 아닐 경우 일반화된 공식이 성립하지 않을 수 있음을 보여준다.