[논문 리뷰] The Generating Functions Enumerating 12..d-Avoiding Words with r occurrences of each of 1,2, ... , n are D-finite for all d and all r

Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 05.

semigroups and automata theory참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 d와 r에 대해 1에서 n까지의 각 문자가 r개씩 포함된 12...d-avoiding 단어를 세는 생성함수들이 D-유한함을 증명한다. 이는 이전의 d=3에 대한 대수적 생성함수 결과를 일반화한 것이다. RSK 대응과 해석 함수 이론을 활용하여 수열의 P-재귀성과 계산 도구를 제공하며, 점점 커지는 점근적 공식과 r > 1에 대한 일반화된 Gessel 행렬식에 대한 추측을 제시한다.

ABSTRACT

In this article, dedicated with admiration and gratitude to guru Neil Sloane on his 75-th birthday, we observe that the generating functions for multi-set permutations that do not contain an increasing subsequence of length d, and where every letter appears the same number of times, say r, are always D-finite, (for every d and every r), and we actually crank out the first few terms of quite a few of them, many of whom are not yet in the OEIS. We also state a conjectured asymptotic formula for these sequences, that reduces to Amitai Regev's famous formula when r=1, and pledge a 100 dollar donation to the OEIS in honor of the first one to prove our conjecture. We pledge another 100 dollars for extending Ira Gessel's spectacular Bessel determinant, from the r=1 case to general r.

연구 동기 및 목표

• 1에서 n까지의 각 문자가 r개씩 포함된 12...d-avoiding 단어의 생성함수가 모든 d와 r에 대해 D-유한함을 증명하는 것.
• r=1일 때 Regev의 점근적 공식을 일반 r로 확장하고, 상수 C_{r,d}의 정확한 점근적 형태를 추측하는 것.
• Gessel의 1...d-avoiding 순열의 생성함수에 대한 행렬식 공식을 r개의 복제가 있는 다중집합 순열의 경우로 일반화하는 것.
• 수열, 재귀식, 점근적 성질을 생성하기 위한 계산 도구와 데이터를 제공하여, 이들 중 많은 것이 아직 OEIS에 등재되어 있지 않은 점을 고려하는 것.

제안 방법

• RSK 대응을 적용하여 A_{d,r}(n)을 분할 λ에 대한 f_λ g^{(r)}_λ의 합으로 표현한다. 여기서 f_λ는 표준 양준 테이블라우의 수이고, g^{(r)}_λ는 각 문자가 r개씩 포함된 열-엄격 테이블라우의 수이다.
• 후크 길이 공식을 사용하여 f_λ를 이산 매개변수 λ_i에 대해 닫힌 형태로 표현하며, 이는 해석 함수 이론에서의 해석 함수이다.
• 고정된 r과 d에 대해 g^{(r)}_λ가 λ에 대해 해석 함수임을 보이며, 이는 x_1,…,x_d에 대한 유리 형식적 거듭제곱급수의 생성함수 때문이기 때문이다.
• 해석 함수 이론의 일반 이론을 활용하여 고정된 d와 r에 대해 A_{d,r}(n)이 P-재귀적임(다항계수를 가진 선형 재귀를 만족함)을 유도한다.
• Maple의 SLOANE75 및 NEIL 패키지를 사용한 기호 계산을 통해 초기 항을 계산하고, 경험적으로 선형 재귀식을 추측한다.
• 점근적 성장과 Gessel의 r=1에 대한 유사한 일반화된 행렬식 공식에 대한 추측을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1에서 n까지의 각 문자가 r개씩 포함된 12...d-avoiding 단어의 생성함수가 모든 d ≥ 4와 모든 r ≥ 1에 대해 D-유한한가?
• RQ2 r=1인 경우 Regev의 1...d-avoiding 순열에 대한 점근적 공식을 r > 1로 일반화할 수 있으며, 상수 C_{r,d}의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 Gessel의 r=1에 대한 행렬식 공식과 유사한 표현이, 각 문자가 r개씩 포함된 1...d-avoiding 단어의 생성함수를 생성할 수 있는가?
• RQ4 수열 A_{d,r}(n)의 P-재귀성은 계산적으로 확인되고, 이를 활용하여 항과 재귀식을 효율적으로 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 1에서 n까지의 각 문자가 r개씩 포함된 12...d-avoiding 단어를 세는 수열 A_{d,r}(n)은 RSK 성분 f_λ와 g^{(r)}_λ의 해석 함수성 덕분에 모든 고정된 d와 r에 대해 P-재귀적이다.
• d=3이고 r ≤ 4인 경우, 이전에 Shar와 Zeilberger가 보였듯이 생성함수는 대수적이다. 그러나 d ≥ 4 및 r ≥ 1인 경우, 생성함수는 D-유한하지만 대수적은 아니다.
• A_{d,r}(n)의 점근적 성장은 C_{r,d} · ((d+r-2 choose d-2)(d-1)^r)^n / n^{((d-1)^2 -1)/2} 형태로 추측되며, 이에 대한 증명은 100달러의 상금이 있다.
• Gessel의 결과를 r=1에서 일반 r로 확장하는 일반화된 행렬식 공식에 대한 100달러 상금이 있다. 이는 r=1일 때 알려진 공식과 유사하다.
• 저자들은 SLOANE75 및 NEIL와 같은 계산 도구와 많은 경우의 데이터를 제공하며, 이들 중 많은 것이 아직 OEIS에 등재되어 있지 않으며, 선형 재귀식과 정밀한 점근적 성질을 포함한다.
• 논문은 A_{d,r}(n)의 생성함수가 모든 d와 r에 대해 D-유한함을 확인하였으며, Zeilberger의 1990년도 순열에 대한 결과(r=1)를 다중집합의 경우로 일반화하였다.