[논문 리뷰] The generation problem in Thompson group $F$

Gili Golan|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 08.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 자유군의 스탤링스 코어의 2차원 버전인 스탤링스 2-코어를 도입함으로써 톰슨 군 F에서의 생성 문제의 결정 가능성을 입증한다. 이 구조를 이용해, 유한 원소 집합이 전체 군 F를 생성하는지 여부를 판단하는 알고리즘을 개발하였으며, 이 방법을 통해 이산 이진 분수 집합 D 위에서 부분군의 작용의 전이성 문제와 무한 지수를 갖는 새로운 최대 부분군을 구성하는 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We show that the generation problem in Thompson group $F$ is decidable, i.e., there is an algorithm which decides if a finite set of elements of $F$ generates the whole $F$. The algorithm makes use of the Stallings $2$-core of subgroups of $F$, which can be defined in an analogue way to the Stallings core of subgroups of a finitely generated free group. Further study of the Stallings $2$-core of subgroups of $F$ provides a solution to another algorithmic problem in $F$. Namely, given a finitely generated subgroup $H$ of $F$, it is decidable if $H$ acts transitively on the set of finite dyadic fractions $\mathcal D$. Other applications of the study include the construction of new maximal subgroups of $F$ of infinite index, among which, a maximal subgroup of infinite index which acts transitively on the set $\mathcal D$ and the construction of an elementary amenable subgroup of $F$ which is maximal in a normal subgroup of $F$.

연구 동기 및 목표

• 톰슨 군 F의 유한 부분집합이 전체 군 F를 생성하는지 여부를 판단하는 것.
• F에서의 생성 문제에 대한 알고리즘적 해결책을 개발하는 것. 이 문제는 F₂×F₂와 같은 일부 관련 군에서는 결정 가능하지 않다.
• 스탈링스 코어 구성법을 다이어그램 군으로 확장하여, F의 부분군에 대한 2차원 해석으로서의 스탤링스 2-코어를 도입하는 것.
• 전이성 문제 해결: 유한 생성 부분군 H ≤ F 가 유한 이진 분수 집합 D 위에서 전이적으로 작용하는지 여부를 결정하는 것.
• 무한 지수를 갖는 새로운 최대 부분군을 구성하는 것. 이 부분군 중 하나는 D 위에서 전이적으로 작용하고, 다른 하나는 기본 아벨리안이며 정규 부분군 내에서 최대이다.

제안 방법

• 부분군 H ≤ F의 스탤링스 2-코어 L(H)를 정의한다. 이는 H의 다이어그램을 수용하고, 더 많은 다이어그램을 포함할 수 있는 방향성 2-복합체이다.
• L(H)에 의해 수용되는 모든 다이어그램의 집합으로서 Cl(H)를 구성한다. 이는 H를 포함하고 폐쇄 성질을 만족하는 부분군이다.
• 코어 L(H)를 이용해, H 가 유한 이진 분수 집합 D 위에서 전이적으로 작용하는지 여부를 코어 내의 경로 구조 분석을 통해 결정한다.
• 튜플 알고리즘을 적용하여 Cl(H)의 생성집합을 계산함으로써, 생성 문제를 Cl(H)에 F의 생성원이 포함되어 있는지 여부로 환원한다.
• 공백 단어 위의 다이어그램 군과 F 사이의 동형을 활용하여, 원소를 양수 및 음수 셀을 갖는 평면 다이어그램으로 표현한다.
• 유한 코어와 관련된 방향성 2-복합체와 반군 표현의 구조를 활용하여 폐쇄성과 유한 생성성 문제를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 원소 집합이 톰슨 군 F 전체를 생성하는지 여부는 결정 가능한가?
• RQ2 유한 생성 부분군 H ≤ F 가 유한 이진 분수 집합 D 위에서 작용하는지 여부를 알고리즘적으로 결정할 수 있는가?
• RQ3 무한 지수를 갖는 최대 부분군 중 D 위에서 전이적으로 작용하는 것이 존재하는가?
• RQ4 유한 생성 부분군 H ≤ F 의 폐쇄는 항상 유한 생성되는가? 특히 스탤링스 2-코어가 유한할 경우에 대해.
• RQ5 기본 아벨리안이면서 정규 부분군 내에서 최대인 새로운 최대 부분군을 F에서 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 톰슨 군 F에서의 생성 문제는 결정 가능하며, 스탤링스 2-코어 구성법을 사용한 명시적 알고리즘이 제시된다.
• 부분군 H ≤ F 가 유한 이진 분수 집합 D 위에서 전이적으로 작용하는지 여부는 H의 스탤링스 2-코어 내의 경로 분석을 통해 결정 가능하다.
• D 위에서 전이적으로 작용하는 무한 지수를 갖는 새로운 최대 부분군이 구성되었으며, 이는 고정점을 갖지 않는 부분군의 존재를 보여준다.
• 정규 부분군 내에서 최대인 기본 아벨리안 부분군이 F 내에서 구성되었으며, 이는 새로운 유형의 최대 부분군을 제공한다.
• 스탈링스 2-코어 L(H)가 유한할 경우, 유한 생성 부분군 H ≤ F 의 폐쇄는 항상 유한 생성된다. 이는 아벨리안 및 기본 아벨리안 부분군에 대해 증명된다.
• 논문은 Z≀Z 와 동형인 부분군이 F 내에서 폐쇄되어 있음을 보여주며, F의 유한 생성, 폐쇄적이지만 유한 표현이 아닌 부분군의 예를 제공한다.