[논문 리뷰] The generic Grobner walk

K. Fukuda, Anders Jensen외 2명|arXiv (Cornell University)|2005. 01. 21.

Polynomial and algebraic computation인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 Q^n에서 Robbiano의 군 순서 특성화를 사용한 형식적 선 추적을 통해 Gröbner 기저 변환에서 명시적 수치적 편향을 대체하는 일반적인 Gröbner 워크를 소개한다. 고정밀 정수 산술을 작은 정수 벡터의 항 순서 비교로 대체함으로써, 큰 정수를 사용하지 않고도 무한소 편향 기반 계산을 효율적으로 수행할 수 있게 되었으며, 이는 토릭 이상수와 정수 배낭 문제의 테스트 세트 계산을 Buchberger 알고리즘보다 크게 가속화한다.

ABSTRACT

The Gröbner walk is an algorithm for conversion between Gröbner bases for different term orders. It is based on the polyhedral geometry of the Gröbner fan and involves tracking a line between cones representing the initial and target term order. An important parameter is explicit numerical perturbation of this line. This usually involves both time and space demanding arithmetic of integers much larger than the input numbers. In this paper we show how the explicit line may be replaced by a formal line using Robbiano’s characterization of group orders on Q n. This gives rise to the generic Gröbner walk involving only Gröbner basis conversion over facets and computations with marked polynomials. The infinite precision integer arithmetic is replaced by term order comparisons between (small) integral vectors. This makes it possible to compute with infinitesimal numbers and perturbations in a consistent way without introducing unnecessary long integers. The proposed technique is closely related to the lexicographic (symbolic) perturbation method used in optimization and computational geometry. We report on computations with toric ideals, where a version of our algorithm in certain cases computes test sets for hard integer knapsack problems significantly faster than the Buchberger algorithm. 1

연구 동기 및 목표

• Gröbner 워크 알고리즘에서 고비용의 고정밀 정수 산술이 필요로 하는 문제를 제거하기 위해.
• 명시적 수치적 선이 아닌 형식적 선을 사용하여 무한소 편향을 일관되게 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 특히 토릭 이상수와 정수 배낭 문제에서 Gröbner 기저 변환의 효율성을 향상시키기 위해.
• 컴퓨터 기하학에서 사용하는 기호적 편향 기법을 대수적 계산에 통합하기 위해.
• 표시 다항식과 면 기반 변환을 활용한 효율적인 테스트 세트 계산 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• Gröbner 팬의 선에 대한 명시적 수치적 편향을 Robbiano의 Q^n에서의 군 순서 특성화를 기반으로 한 형식적 선으로 대체한다.
• 임의 정밀도 정수 산술 대신 작은 정수 벡터 간의 항 순서 비교를 사용한다.
• Gröbner 팬의 면들 사이에서만 Gröbner 기저 변환을 수행하여 계산 오버헤드를 줄인다.
• 표시 다항식을 사용해 워크 동안 초기 형을 추적함으로써 형식적 편향 하에서도 정확성을 유지한다.
• Gröbner 팬의 구조를 활용해 콧모양 복합체 내의 일반적인 선을 따라 워크를 안내한다.
• 컴퓨터 기하학에서의 기호적 편향 기법을 대수적 환경에 적응시켜 수치적 붕괴 없이 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gröbner 워크의 명시적 수치적 편향 단계를 형식적, 기호적 방법으로 대체할 수 있는가?
• RQ2 큰 정수를 사용하지 않고도 무한소 편향을 어떻게 일관되게 모델링할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 Gröbner 워크가 토릭 이상수의 테스트 세트 계산에서 Buchberger 알고리즘보다 얼마나 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 형식적 선 접근법이 다양한 항 순서 간의 Gröbner 기저 변환에서 정확성과 효율성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 고정밀 산술을 단순한 항 순서 비교로 대체함으로써 계산 성능에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일반적인 Gröbner 워크는 고비용의 임의 정밀도 정수 산술을 작은 정수 벡터의 효율적 항 순서 비교로 대체한다.
• 이 방법은 큰 정수를 도입하지 않고도 무한소 편향을 일관되게 계산할 수 있도록 한다.
• Buchberger 알고리즘과 비교해 어려운 정수 배낭 문제의 테스트 세트 계산에서 상당한 속도 향상을 달성한다.
• 이 방법은 컴퓨터 기하학 및 최적화에서 사용하는 기호적 편향 방법과 밀접한 관련이 있다.
• 토릭 이상수 계산 결과에서 일반적인 Gröbner 워크가 특정 경우에 Buchberger 알고리즘보다 훨씬 빠를 수 있음을 보여준다.
• 이 기법은 면 기반 Gröbner 기저 변환과 표시 다항식 추적에만 의존하므로 구현이 단순해지고 오버헤드가 감소한다.